函数 f(x)=((x^2-x)e^frac(1)/(x))(|x|(x^2-1)) 的第二类间断点的个数为 ( )(A). 1.(B). 2.(C). 3.(D). 4.

我们来分析函数
$f(x) = \frac{(x^2 - x)e^{1/x}}{|x|(x^2 - 1)}$
的第二类间断点的个数。

第一步：确定函数的定义域

我们先找出函数在哪些点没有定义，这些点可能是间断点。

观察函数的表达式：

• 分母是：$ |x|(x^2 - 1) $
• $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $

所以分母为零当且仅当：

• $ x = 0 $（因为 $ |x| = 0 $）
• $ x = 1 $
• $ x = -1 $

因此，函数在 $ x = -1, 0, 1 $ 处无定义，这些点是可能的间断点。

此外，分子中有 $ e^{1/x} $，当 $ x = 0 $ 时 $ 1/x $ 无定义，这也说明 $ x = 0 $ 是关键点。

所以函数在 $ x = -1, 0, 1 $ 处不连续（或未定义），我们逐个分析这些点是否为间断点，以及是第几类。

第二步：回顾间断点的分类

• 第一类间断点：左右极限都存在但不相等，或不等于函数值（如跳跃间断）
• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在（包括无穷、振荡等）

我们要找的是第二类间断点，即极限不存在的点。

第三步：逐个分析 $ x = -1, 0, 1 $

1. 分析 $ x = 1 $

函数在 $ x = 1 $ 处无定义，我们考察极限是否存在。

先化简函数表达式，看看能不能约分。

函数：
$f(x) = \frac{(x^2 - x)e^{1/x}}{|x|(x^2 - 1)} = \frac{x(x - 1)e^{1/x}}{|x|(x - 1)(x + 1)}$

注意：当 $ x \ne 1 $ 且 $ x \ne 0 $ 时，可以约去 $ x - 1 $（但 $ x = 1 $ 处不能约）

所以当 $ x \ne 1 $ 且 $ x \ne 0, \pm1 $ 时：
$f(x) = \frac{x e^{1/x}}{|x|(x + 1)} = \frac{x}{|x|} \cdot \frac{e^{1/x}}{x + 1}$

因为 $ \frac{x}{|x|} = \text{sign}(x) $，即符号函数。

所以：
$f(x) = \text{sign}(x) \cdot \frac{e^{1/x}}{x + 1}, \quad x \ne -1, 0, 1$

这个化简形式在 $ x \ne -1, 0, 1 $ 时成立。

现在我们用这个简化形式来分析极限。

分析 $ x \to 1 $

在 $ x \to 1 $ 附近，$ x > 0 $，所以 $ \text{sign}(x) = 1 $，且 $ x + 1 \to 2 $，$ e^{1/x} \to e^1 = e $

所以：
$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \cdot \frac{e}{2} = \frac{e}{2}$

极限存在！

所以 $ x = 1 $ 是可去间断点（第一类），不是第二类。

2. 分析 $ x = -1 $

函数在 $ x = -1 $ 处无定义。

考虑 $ x \to -1 $ 时的极限。

在 $ x \to -1 $ 附近，$ x < 0 $，所以 $ \text{sign}(x) = -1 $

所以：
$f(x) = - \frac{e^{1/x}}{x + 1}$

现在考虑 $ x \to -1 $ 时的行为：

• $ e^{1/x} $：当 $ x \to -1 $，$ 1/x \to -1 $，所以 $ e^{1/x} \to e^{-1} $，是有限值
• $ x + 1 \to 0 $

所以分母趋于 0，分子趋于 $ -e^{-1} \ne 0 $

关键：要看 $ x \to -1^+ $ 和 $ x \to -1^- $ 时 $ x + 1 $ 的符号。

• $ x \to -1^+ $：$ x > -1 $，$ x + 1 \to 0^+ $
• $ x \to -1^- $：$ x < -1 $，$ x + 1 \to 0^- $

所以：
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = - \frac{e^{-1}}{0^+} = -\infty$
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = - \frac{e^{-1}}{0^-} = - \left( \frac{e^{-1}}{\text{负小数}} \right) = - ( \text{负大数} ) = +\infty$

所以：

• 左极限：$ +\infty $
• 右极限：$ -\infty $

左右极限都不存在（趋于无穷），所以是第二类间断点。

✅ $ x = -1 $ 是第二类间断点。

3. 分析 $ x = 0 $

这是最复杂的一个点。

函数在 $ x = 0 $ 无定义，且 $ e^{1/x} $ 在 $ x \to 0 $ 时行为剧烈。

我们分别考虑 $ x \to 0^+ $ 和 $ x \to 0^- $

再次使用化简后的表达式：
$f(x) = \text{sign}(x) \cdot \frac{e^{1/x}}{x + 1}, \quad x \ne -1, 0, 1$

（1）$ x \to 0^+ $

• $ \text{sign}(x) = 1 $
• $ x + 1 \to 1 $
• $ 1/x \to +\infty \Rightarrow e^{1/x} \to +\infty $

所以：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \cdot \frac{+\infty}{1} = +\infty$

极限不存在（无穷）

（2）$ x \to 0^- $

• $ \text{sign}(x) = -1 $
• $ x + 1 \to 1 $（因为 $ x \to 0^- $，接近 0，所以 $ x + 1 \to 1 $）
• $ 1/x \to -\infty \Rightarrow e^{1/x} \to 0 $

所以：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \cdot \frac{0}{1} = 0$

这个极限存在，为 0。

总结 $ x = 0 $ 处：

• 左极限：0（存在）
• 右极限：$ +\infty $（不存在）

因为右极限不存在，所以整体极限不存在。

> 根据定义，只要左右极限至少有一个不存在，就是第二类间断点。

所以 $ x = 0 $ 是第二类间断点。

✅ $ x = 0 $ 是第二类间断点。

第四步：还有没有其他可能的间断点？

我们已经分析了所有使函数无定义的点：$ x = -1, 0, 1 $

其他点函数都是初等函数的组合，在定义域内连续。

所以只有这三个点是间断点。

其中：

• $ x = 1 $：可去间断点（第一类）
• $ x = -1 $：第二类
• $ x = 0 $：第二类

最终结论：

第二类间断点有 2 个：$ x = -1 $ 和 $ x = 0 $

答案：

$\boxed{\text{(B). 2}}$