题目

33.（2.0分）设X服从标准正态分布，且有Φ(1.96)=0.975，则P(|X|>1.96)=____.

33.（2.0分）设X服从标准正态分布，且有Φ(1.96)=0.975，则P(|X|>1.96)=____.

题目解答

答案

要解决这个问题，我们需要使用标准正态分布的性质和给定的Φ(1.96)的值。标准正态分布的累积分布函数（CDF）用Φ表示，它给出了标准正态随机变量X小于或等于给定值的概率。具体来说，Φ(z) = P(X ≤ z)。 题目要求我们找到P(|X| > 1.96)。绝对值不等式|X| > 1.96可以重写为两个不等式： X > 1.96 或 X < -1.96 因此，我们可以将概率P(|X| > 1.96)表示为： P(|X| > 1.96) = P(X > 1.96) + P(X < -1.96) 由于标准正态分布关于0对称，我们有： P(X < -1.96) = P(X > 1.96) 因此，我们可以重写概率为： P(|X| > 1.96) = 2P(X > 1.96) 接下来，我们需要找到P(X > 1.96)。使用标准正态分布的CDF，我们有： P(X > 1.96) = 1 - P(X ≤ 1.96) = 1 - Φ(1.96) 题目中给出Φ(1.96) = 0.975，所以： P(X > 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025 现在，我们可以找到P(|X| > 1.96)： P(|X| > 1.96) = 2P(X > 1.96) = 2 × 0.025 = 0.05 因此，答案是： \boxed{0.05}

解析

本题考查标准正态分布的性质及概率计算。解题思路如下：

  1. 首先明确标准正态分布的累积分布函数$\varPhi(z)=P(X\leq z)$，以及绝对值不等式$\vert X\vert>1.96$可转化为$X > 1.96$或$X < -1.96$，所以$P(\vert X\vert>1.96)=P(X > 1.96)+P(X < -1.96)$。
  2. 由于标准正态分布关于$0$对称，根据对称性可知$P(X < -1.96)=P(X > 1.96)$，那么$P(\vert X\vert>1.96)=2P(X > 1.96)$。
  3. 接着求$P(X > 1.96)$，根据概率的基本性质$P(X > 1.96)=1 - P(X\leq 1.96)$，又因为$P(X\leq 1.96)=\varPhi(1.96)$，已知$\varPhi(1.96)=0.975$，所以$P(X > 1.96)=1 - \varPhi(1.96)=1 - 0.975 = 0.025$。
  4. 最后将$P(X > 1.96)=0.025$代入$P(\vert X\vert>1.96)=2P(X > 1.96)$，可得$P(\vert X\vert>1.96)=2\times0.025 = 0.05$。