曲面的第二基本形式（）A. 是一个向量值函数B. 只与曲面的第一基本形式有关C. 与曲面的参数化方式无关，只和曲面本身有关D. 与曲面的形状和在空间中的弯曲程度有关

本题考查曲面的第二基本形式的相关知识。解题思路是依次分析每个选项，根据曲面第二基本形式的定义和性质来判断其正确性。

选项A分析

曲面的第二基本形式 $II = Ldu^2 + 2Mdudv+Ndv^2$，其中 $L = \langle r_{uu},n\rangle$，$M=\langle r_{uv},n\rangle$，$N = \langle r_{vv},n\rangle$，$r$ 是曲面的位置向量，$n$ 是曲面的单位法向量。它是一个二次型，是一个数量值函数，而不是向量值函数。所以选项A错误。

选项B分析

曲面的第一基本形式 $I=Edu^2 + 2Fdudv+Gdv^2$，其中 $E=\langle r_{u},r_{u}\rangle$，$F=\langle r_{u},r_{v}\rangle$，$G=\langle r_{v},r_{v}\rangle$。第二基本形式的系数 $L,M,N$ 不仅与曲面的切向量有关，还与曲面的法向量有关，而第一基本形式只与切向量有关，所以第二基本形式并不只与曲面的第一基本形式有关。选项B错误。

选项C分析

曲面的第二基本形式与曲面的参数化方式有关。不同的参数化方式会导致 $r_{u},r_{v},r_{uu},r_{uv},r_{vv}$ 等不同，从而使得 $L,M,N$ 可能不同。虽然曲面本身的几何性质是确定的，但第二基本形式的具体表达式会随着参数化方式的改变而改变。选项C错误。

选项D分析

曲面的第二基本形式反映了曲面在空间中的弯曲程度。例如，对于平面，其第二基本形式恒为零，因为平面没有弯曲；而对于球面等弯曲的曲面，其第二基本形式不为零，且其值与球面的弯曲程度相关。所以第二基本形式与曲面的形状和在空间中的弯曲程度有关。选项D正确。