题目
6.(填空题) 已知3阶方阵A的特征值分别为1,-1,2,则A^2-2E的特征值为____,____,____.
6.(填空题) 已知3阶方阵A的特征值分别为1,-1,2,则$A^{2}-2E$的特征值为____,____,____.
题目解答
答案
为了求解 $ A^2 - 2E $ 的特征值，我们首先需要利用矩阵的特征值的性质。如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $f(\lambda)$ 是矩阵 $f(A)$ 的特征值，其中 $f(x)$ 是一个多项式。在这个问题中， $f(A) = A^2 - 2E$，所以 $f(\lambda) = \lambda^2 - 2$。 已知矩阵 $A$ 的特征值为 $1, -1, 2$，我们分别将这些特征值代入 $f(\lambda)$ 中，来求解 $A^2 - 2E$ 的特征值。 1. 对于 $\lambda = 1$: \[ f(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \] 2. 对于 $\lambda = -1$: \[ f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \] 3. 对于 $\lambda = 2$: \[ f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \] 因此， $A^2 - 2E$ 的特征值为 $-1, -1, 2$。 所以，答案是 $\boxed{-1, -1, 2}$。
解析
本题考查矩阵特征值的性质。解题思路是利用若$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么对于多项式$f(x)$，$f(\lambda)$就是矩阵$f(A)$的特征值这一性质来求解$A^{2}-2E$的特征值。
已知$f(A)=A^{2}-2E$，则对应的多项式为$f(x)=x^{2}-2$。
已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 2$。
- 当$\lambda = \lambda_1 = 1$时，将其代入$f(x)$可得：
$f(1)=1^{2}-2=1 - 2=-1$ - 当$\lambda = \lambda_2 = -1$时，将其代入$f(x)$可得：
$f(-1)=(-1)^{2}-2=1 - 2=-1$ - 当$\lambda = \lambda_3 = 2$时，将其代入$f(x)$可得：
$f(2)=2^{2}-2=4 - 2=2$