题目

5.积分oint(cos z)/((pi-z)^3)dz=

5.积分$\oint\frac{\cos z}{(\pi-z)^{3}}dz=$

题目解答

答案

函数 $f(z) = \frac{\cos z}{(\pi - z)^3}$ 在圆 $|z|=2$ 内无极点（因 $z = \pi$ 在圆外）。根据柯西积分定理，解析函数在简单闭合曲线内的积分等于零。 或者，使用柯西积分公式，将被积函数重写为 $-\frac{\cos z}{(z - \pi)^3}$，但 $z = \pi$ 不在圆内，公式不适用。 因此，积分值为： \[ \boxed{0} \]

解析

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分定理的应用，以及判断奇点是否在积分路径内部的能力。

解题核心思路：

  1. 确定被积函数的奇点位置：分母为$(\pi - z)^3$，奇点为$z = \pi$。
  2. 判断奇点是否在积分路径内：积分路径为$|z|=2$，而$| \pi | \approx 3.14 > 2$，故$z = \pi$在圆外。
  3. 应用柯西积分定理：若函数在积分路径内解析，则积分值为$0$。

破题关键点：

  • 奇点位置的判断是解题的核心，需明确$z = \pi$不在积分路径内。
  • 柯西积分定理的直接应用，无需展开复杂计算。

  1. 分析被积函数的奇点
    被积函数为$f(z) = \frac{\cos z}{(\pi - z)^3}$，其分母为$(\pi - z)^3$，奇点为$z = \pi$。

  2. 判断奇点是否在积分路径内
    积分路径为$|z|=2$，而$| \pi | \approx 3.14 > 2$，因此$z = \pi$位于圆$|z|=2$外。

  3. 应用柯西积分定理
    函数$f(z)$在积分路径内解析（无奇点），根据柯西积分定理，解析函数在简单闭合曲线上的积分为$0$。