题目

2 设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为-|||-Y -1 0 1-|||--1 a 0 0.2-|||-0 0.1 0.1 0.2-|||-1 0 0.1 b-|||-且已知 (Yleqslant 01X=1)=0.5 ,则 ]-|||-(A) a=0.2 b=0.1 (B) a=0.1 b=0.2-|||-(C) a=0.3 b=0 (D) a=0 b=0.3

题目解答

答案

解析

本题考查二维离散型随机向量的联合分布律以及条件概率的计算。解题思路是先根据联合分布律求出$P(Y\leqslant 0|X = 1)$的表达式，再结合已知条件$P(Y\leqslant 0|X = 1)=0.5$来求解$a$和$b$的值。

  1. 首先明确联合分布律中各元素的含义，根据联合分布律可知：
    • $P(X = 1,Y=-1)=a$；
    • $P(X = 1,Y = 0)=0.2$；
    • $P(X = 1,Y = 1)=0.1$。
  2. 然后根据条件概率公式$P(Y\leqslant 0|X = 1)=\frac{P(X = 1,Y\leqslant 0)}{P(X = 1)}$来计算$P(Y\leqslant 0|X = 1)$的值：
    • 计算$P(X = 1,Y\leqslant 0)$：
      • $P(X = 1,Y\leqslant 0)=P(X = 1,Y=-1)+P(X = 1,Y = 0)=a + 0.2$。
    • 计算$P(X = 1)$：
      • $P(X = 1)=P(X = 1,Y=-1)+P(X = 1,Y = 0)+P(X = 1,Y = 1)=a + 0.2+0.1=a + 0.3$。
    • 所以$P(Y\leqslant 0|X = 1)=\frac{P(X = 1,Y\leqslant 0)}{P(X = 1)}=\frac{a + 0.2}{a + 0.3}$。
  3. 最后结合已知条件$P(Y\leqslant 0|X = 1)=0.5$来求解$a$和$b$的值：
    • 由$\frac{a + 0.2}{a + 0.3}=0.5$，交叉相乘可得：
      • $a + 0.2 = 0.5\times(a + 0.3)$。
      • $a + 0.2 = 0.5a+0.15$。
      • 移项可得：
      • $a - 0.5a = 0.15 - 0.2$。
      • $0.5a = -0.05$。
      • 解得$a = 0.1$。
    • 因为联合分布律中所有概率之和为$1$，即$a + 0.2+0.1+0.1+0.2+b = 1$，将$a = 0.1$代入可得：
      • $0.1 + 0.2+0.1+0.1+0.2+b = 1$。
      • $0.7 + b = 1$。
      • 解得$b = 0.2$。