题目

2.如图所示,一均匀带电球体,总电荷为 +Q, 其外部同心地罩一内、外半径分别为r1,r2的金-|||-属球壳.设无穷远处为电势零点,则球壳内距球心半径为r的点P处的场强和电势为-|||-()-|||-(A) =dfrac (Q)(4pi {varepsilon )_(0)(r)^2} =dfrac (Q)(4pi {varepsilon )_(0)r} (B) =0, =dfrac (Q)(4pi {varepsilon )_(0)(r)_(1)}-|||-(C) =0, =dfrac (Q)(4pi {varepsilon )_(0)r} (D) =0, =dfrac (Q)(4pi {varepsilon )_(0)(r)_(2)}

题目解答

答案

解析

本题考查静电平衡下导体的电场分布以及电势的计算。解题思路如下：

  1. 判断点$P$处的场强：
    • 对于处于静电平衡状态的导体，其内部场强处处为零。因为金属球壳是导体，当达到静电平衡时，自由电子会重新分布，使得球壳内部（$r_1\lt r\lt r_2$）的合场强为零。
    • 根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i = 1}^{n}q_i$，在球壳内部（$r_1\lt r\lt r_2$）取一个半径为$r$的同心高斯球面$S$，由于该高斯面内的净电荷$\sum_{i = 1}^{n}q_i = 0$（金属球壳在静电平衡时，电荷只分布在表面），所以$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot4\pi r^2 = 0$，可得$E = 0$。
  2. 计算点$P$处的电势：
    • 电势的定义式为$V=\int_{P}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{l}$。
    • 点$P$处的电势$V$可以通过积分计算，从点$P$到无穷远处积分，由于球壳内部场强$E = 0$（$r_1\lt r\lt r_2$），球壳外部场强$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（$r\gt r_2$），所以$V=\int_{r}^{r_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}+\int_{r_2}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$。
    • 对于$\int_{r}^{r_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}$，因为$E = 0$（$r_1\lt r\lt r_2$），所以$\int_{r}^{r_2}0\cdot dr = 0$。
    • 对于$\int_{r_2}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$，$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$，则$\int_{r_2}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，这里$n=-2$，可得$\int_{r_2}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_2}^{\infty}r^{-2}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_2}^{\infty}$。
    • 计算定积分$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_2}^{\infty}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(0+\frac{1}{r_2}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_2}$。