题目

199 设 f(x)= { ,xneq 0 0, x=0 . 则在区间 (-1,1) 上-|||-(A)f(x)与g (x)都存在原函数.-|||-(B)f(x)与g (x)都不存在原函数.-|||-(C)f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数.-|||-(D)f(x)不存在原函数,g(x)存在原函数.

题目解答

答案

解析

本题主要考查原函数存在的条件，包括函数连续以及导函数间断点的类型。解题思路是分别判断$f(x)$与$g(x)$在区间$(-1,1)$上是否存在原函数。

1. 判断$g(x)$在区间$(-1,1)$上是否存在原函数

已知$g(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x = 0\end{cases}$，要判断$g(x)$在$(-1,1)$上是否连续。

  • 当$x\neq0$时，$x$和$\sin\frac{1}{x}$都是连续函数，根据连续函数的乘积仍为连续函数，可知$x\sin\frac{1}{x}$在$(-1,0)\cup(0,1)$上连续。
  • 当$x = 0$时，计算$\lim\limits_{x\to0}g(x)=\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$，因为$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，即$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，而$\lim\limits_{x\to0}x = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0 = g(0)$，所以$g(x)$在$x = 0$处连续。
    由于$g(x)$在$(-1,1)$上连续，根据原函数存在定理：若函数$F(x)$在区间$(a,b)$上连续，则$F(x)$在$(a,b)$上一定存在原函数，可知$g(x)$在$(-1,1)$上存在原函数。

2. 判断$f(x)$在区间$(-1,1)$上是否存在原函数

已知$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\geqslant0\\\cos x,&x\lt0\end{cases}$，$x = 0$是$f(x)$的间断点，下面用两种方法判断$f(x)$在$(-1,1)$上是否存在原函数。

  • 方法一：
    • 当$x\in[0,1)$时，对$f(x)=x^2$求原函数，根据求导公式$(\frac{1}{3}x^3)^\prime=x^2$，可得$f(x)$在$[0,1)$的原函数为$\frac{1}{3}x^3 + C_1$。
    • 当$x\in(-1,0)$时，对$f(x)=\cos x$求原函数，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$f(x)$在$(-1,0)$的原函数为$\sin x + C_2$。
    • 若$f(x)$在$(-1,1)$存在原函数，则原函数$F(x)$在$x = 0$处必连续，即$\lim\limits_{x\to0^+}(\frac{1}{3}x^3 + C_1)=\lim\limits_{x\to0^-}(\sin x + C_2)$，可得$C_1 = C_2$，此时$F(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^3 + C_1,&0\leqslant x\leqslant1\\\sin x + C_1,&-1\lt x\leqslant0\end{cases}$。
    • 再判断$F(x)$在$x = 0$处是否可导，计算右导数$F_+'(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{F(x)-F(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{3}x^3 + C_1 - C_1}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{3}x^2 = 0$，左导数$F_-'(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{F(x)-F(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin x + C_1 - C_1}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1$，因为$F_+'(0)\neq F_-'(0)$，所以$F(x)$在$x = 0$处不可导，即$f(x)$在$(-1,1)$不存在原函数。
  • 方法二：
    计算$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}x^2 = 0$，$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\cos x = 1$，因为$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^-}f(x)$，所以$x = 0$是$f(x)$的第一类间断点。根据原函数存在定理：若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上有第一类间断点，则$f(x)$在$(a,b)$上不存在原函数，可知$f(x)$在$(-1,1)$上不存在原函数。