溶液中仅有的反应为 (M) + (L) leftharpoons (ML)、(ML) + (L) leftharpoons (ML)_2，平衡常数分别为 K_1、K_2。欲使溶液中 [(ML)] 达到最大值，则 [(L)] 与 K_1、K_2 的关系式应为（ ）A. [(L)] = K_1 (K_2)^(1)/(2)B. [(L)] = (K_1 K_2)^(1)/(2)C. [(L)] = (K_1 K_2)^-(1)/(2)D. [(L)] = K_1 (K_2)^-(1)/(2)

本题考查化学平衡常数的应用以及利用数学方法求最值，解题的关键在于根据化学平衡常数表达式得出$[ML]$关于$[L]$的表达式，再通过求导的方法找到$[ML]$取得最大值时$[L]$与$K_1$、$K_2$的关系。

1. 根据平衡常数表达式表示$[ML]$：
   • 对于反应$\text{M} + \text{L} \rightleftharpoons \text{ML}$，其平衡常数$K_1=\frac{[\text{ML}]}{[\text{M}][\text{L}]}$，则$[\text{M}]=\frac{[\text{ML}]}{K_1[\text{L}]}$。
   • 对于反应$\text{ML} + \text{L} \rightleftharpoons \text{ML}_2$，其平衡常数$K_2=\frac{[\text{ML}_2]}{[\text{ML}][\text{L}]}$，则$[\text{ML}_2]=K_2[\text{ML}][\text{L}]$。
   • 设$M$的初始浓度为$c_0$，根据物料守恒可得$c_0 = [\text{M}] + [\text{ML}] + [\text{ML}_2]$，将$[\text{M}]$和$[\text{ML}_2]$的表达式代入可得：
     $c_0=\frac{[\text{ML}]}{K_1[\text{L}]} + [\text{ML}] + K_2[\text{ML}][\text{L}]$。
   • 对上式进行整理求解$[\text{ML}]$：
     $\begin{align*}c_0&=[\text{ML}](\frac{1}{K_1[\text{L}]} + 1 + K_2[\text{L}])\\[\text{ML}]&=\frac{c_0}{\frac{1}{K_1[\text{L}]} + 1 + K_2[\text{L}]}\end{align*}$
2. 求$[ML]$的最大值：
   为了找到$[ML]$的最大值，对$[\text{ML}]$关于$[L]$求导，并令导数为$0$。
   设$y = \frac{1}{K_1[\text{L}]} + 1 + K_2[\text{L}]$，则$[\text{ML}]=\frac{c_0}{y}$。
   根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，这里$u = c_0$（常数，$u^\prime = 0$），$v = y$，可得$([\text{ML}])^\prime=-\frac{c_0y^\prime}{y^2}$。
   对$y$求导：$y^\prime=-\frac{1}{K_1[\text{L}]^2}+K_2$。
   令$([\text{ML}])^\prime = 0$，即$-\frac{c_0y^\prime}{y^2}=0$，因为$c_0\neq0$，$y^2\neq0$，所以$y^\prime = 0$，也就是$-\frac{1}{K_1[\text{L}]^2}+K_2 = 0$。
3. 求解$[L]$：
   由$-\frac{1}{K_1[\text{L}]^2}+K_2 = 0$，移项可得$\frac{1}{K_1[\text{L}]^2}=K_2$，进一步变形为$[\text{L}]^2=\frac{1}{K_1K_2}$。
   因为浓度不能为负，所以$[\text{L}] = (K_1 K_2)^{-\frac{1}{2}}$。