题目
3.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
3.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X
表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
题目解答
答案
为了求出 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，我们需要确定对于 $X$ 和 $Y$ 的所有可能值，取到 $X$ 只黑球和 $Y$ 只红球的概率。$X$ 的可能值为 0, 1, 2, 3，而 $Y$ 的可能值为 0, 1, 2。由于我们总共取4只球，取到的白球数量为 $4 - X - Y$，这个值必须在 0 和 2 之间（因为只有2只白球）。
总共有 $\binom{7}{4} = 35$ 种方式从7只球中取4只球。我们将计算每对 $(X, Y)$ 的概率。
1. **对于 $X = 0$:**
- $Y = 0$: 需要取4只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 0, Y = 0) = 0$。
- $Y = 1$: 需要取1只红球和3只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 0, Y = 1) = 0$。
- $Y = 2$: 需要取2只红球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{0}\binom{2}{2}\binom{2}{2} = 1$。概率为 $P(X = 0, Y = 2) = \frac{1}{35}$。
2. **对于 $X = 1$:**
- $Y = 0$: 需要取1只黑球和3只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 1, Y = 0) = 0$。
- $Y = 1$: 需要取1只黑球，1只红球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{2} = 6$。概率为 $P(X = 1, Y = 1) = \frac{6}{35}$。
- $Y = 2$: 需要取1只黑球，2只红球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{1}\binom{2}{2}\binom{2}{1} = 6$。概率为 $P(X = 1, Y = 2) = \frac{6}{35}$。
3. **对于 $X = 2$:**
- $Y = 0$: 需要取2只黑球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{0}\binom{2}{2} = 3$。概率为 $P(X = 2, Y = 0) = \frac{3}{35}$。
- $Y = 1$: 需要取2只黑球，1只红球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1} = 12$。概率为 $P(X = 2, Y = 1) = \frac{12}{35}$。
- $Y = 2$: 需要取2只黑球，2只红球和0只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{2}\binom{2}{0} = 3$。概率为 $P(X = 2, Y = 2) = \frac{3}{35}$。
4. **对于 $X = 3$:**
- $Y = 0$: 需要取3只黑球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{3}\binom{2}{0}\binom{2}{1} = 2$。概率为 $P(X = 3, Y = 0) = \frac{2}{35}$。
- $Y = 1$: 需要取3只黑球，1只红球和0只白球。方式数为 $\binom{3}{3}\binom{2}{1}\binom{2}{0} = 2$。概率为 $P(X = 3, Y = 1) = \frac{2}{35}$。
- $Y = 2$: 需要取3只黑球，2只红球和-1只白球，这是不可能的，所以 $P(X = 3, Y = 2) = 0$。
将所有这些概率汇总，我们得到 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律：
\[
\begin{array}{c|ccc}
& Y=0 & Y=1 & Y=2 \\
\hline
X=0 & 0 & 0 & \frac{1}{35} \\
X=1 & 0 & \frac{6}{35} & \frac{6}{35} \\
X=2 & \frac{3}{35} & \frac{12}{35} & \frac{3}{35} \\
X=3 & \frac{2}{35} & \frac{2}{35} & 0 \\
\end{array}
\]
因此，最终答案是：
\[
\boxed{
\begin{array}{c|ccc}
& Y=0 & Y=1 & Y=2 \\
\hline
X=0 & 0 & 0 & \frac{1}{35} \\
X=1 & 0 & \frac{6}{35} & \frac{6}{35} \\
X=2 & \frac{3}{35} & \frac{12}{35} & \frac{3}{35} \\
X=3 & \frac{2}{35} & \frac{2}{35} & 0 \\
\end{array}
}
\]
解析
本题考查二维离散型随机变量的联合分布律的求解。解题思路如下：
- 首先确定随机变量 $X$（取到黑球的只数）和 $Y$（取到红球的只数）的所有可能取值。因为盒子里有$3$只黑球、$2$只红球和$2$只白球，任取$4$只球，所以 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$，$Y$ 的可能取值为 $0,1,2$。同时，由于取球总数为$4$只，取到的白球数量为 $4 - X - Y$，且白球数量需满足 $0\leqslant 4 - X - Y\leqslant 2$。
- 计算从$7$只球中任取$4$只球的总组合数，根据组合数公式 $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里 $n = 7$，$k = 4$，则总组合数为：
- $\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!(7 - 4)!}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$。
- 对于 $X$ 和 $Y$ 的每一组可能取值 $(x,y)$，计算取到 $x$ 只黑球、$y$ 只红球和 $4 - x - y$ 只白球的组合数，再根据古典概型概率公式 $P(X = x,Y = y)=\frac{\text{取到 }x\text{ 只黑球、}y\text{ 只红球和 }4 - x - y\text{ 只白球的组合数}}{\text{总组合数}}$ 计算概率。
- 当 $X = 0$ 时：
- 若 $Y = 0$，需要取$4$只白球，但只有$2$只白球，所以取法为 $0$ 种，即 $\binom{3}{0}\binom{2}{0}\binom{2}{4}=0$，则 $P(X = 0,Y = 0)=\frac{0}{35}=0$。
- 若 $Y = 1$，需要取$1$只红球和$3$只白球，只有$2$只白球，所以取法为 $0$ 种，即 $\binom{3}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{3}=0$，则 $P(X = 0,Y = 1)=\frac{0}{35}=0$。
- 若 $Y = 2$，需要取$2$只红球和$2$只白球，取法有 $\binom{3}{0}\binom{2}{2}\binom{2}{2}=1\times1\times1 = 1$ 种，则 $P(X = 0,Y = 2)=\frac{1}{35}$。
- 当 $X = 1$ 时：
- 若 $Y = 0$，需要取$1$只黑球和$3$只白球，只有$2$只白球，所以取法为 $0$ 种，即 $\binom{3}{1}\binom{2}{0}\binom{2}{3}=0$，则 $P(X = 1,Y = 0)=\frac{0}{35}=0$。
- 若 $Y = 1$，需要取$1$只黑球、$1$只红球和$2$只白球，取法有 $\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{2}=3\times2\times1 = 6$ 种，则 $P(X = 1,Y = 1)=\frac{6}{35}$。
- 若 $Y = 2$，需要取$1$只黑球、$2$只红球和$1$只白球，取法有 $\binom{3}{1}\binom{2}{2}\binom{2}{1}=3\times1\times2 = 6$ 种，则 $P(X = 1,Y = 2)=\frac{6}{35}$。
- 当 $X = 2$ 时：
- 若 $Y = 0$，需要取$2$只黑球和$2$只白球，取法有 $\binom{3}{2}\binom{2}{0}\binom{2}{2}=3\times1\times1 = 3$ 种，则 $P(X = 2,Y = 0)=\frac{3}{35}$。
- 若 $Y = 1$，需要取$2$只黑球、$1$只红球和$1$只白球，取法有 $\binom{3}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1}=3\times2\times2 = 12$ 种，则 $P(X = 2,Y = 1)=\frac{12}{35}$。
- 若 $Y = 2$，需要取$2$只黑球、$2$只红球和$0$只白球，取法有 $\binom{3}{2}\binom{2}{2}\binom{2}{0}=3\times1\times1 = 3$ 种，则 $P(X = 2,Y = 2)=\frac{3}{35}$。
- 当 $X = 3$ 时：
- 若 $Y = 0$，需要取$3$只黑球和$1$只白球，取法有 $\binom{3}{3}\binom{2}{0}\binom{2}{1}=1\times1\times2 = 2$ 种，则 $P(X = 3,Y = 0)=\frac{2}{35}$。
- 若 $Y = 1$，需要取$3$只黑球、$1$只红球和$0$只白球，取法有 $\binom{3}{3}\binom{2}{1}\binom{2}{0}=1\times2\times1 = 2$ 种，则 $P(X = 3,Y = 1)=\frac{2}{35}$。
- 若 $Y = 2$，需要取$3$只黑球、$2$只红球和$-1$只白球，这是不可能的，所以取法为 $0$ 种，即 $\binom{3}{3}\binom{2}{2}\binom{2}{-1}=0$，则 $P(X = 3,Y = 2)=\frac{0}{35}=0$。
- 当 $X = 0$ 时：