3.设f(x)在 =O 的邻域内二阶可导,且 '(0)=0,-|||-''(0)=2, 求-|||-lim _(xarrow 0)dfrac (f(x)-f[ ln (1+x)] )({x)^3} .

本题主要考察利用泰勒展开式求解极限，适用于函数在某点邻域内具有高阶导数的情况。

步骤1：泰勒展开的适用性

题目给出$f(x)$在$x=0$的邻域内二阶可导，且$f'(0)=0$，$f''(0)=2$。对于此类问题，泰勒展开（麦克劳林展开）是简化$f(x)-f[\ln(1+x)]$的有效方法，因为泰勒展开可以将函数在$x=0$附近近似为多项式，便于计算极限。

步骤2：$f(x)$的二阶麦克劳林展开

根据麦克劳林展开公式，二阶可导函数的展开式为：
$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+o(x^2)$
代入$f'(0)=0$，$f''(0)=2$，得：
$f(x)=f(0)+\frac{2}{2}x^2+o(x^2)=f(0)+x^2+o(x^2)$

步骤3：$\ln(1+x)$的泰勒展开

$\ln(1+x)$的麦克劳林展开为：
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
记$t=\ln(1+x)$，则$t$在$x\to0$时也趋于0，对$f(t)$展开：
$f(t)=f(0)+t^2+o(t^2)$
代入$t=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，计算$t^2$：
$t^2=\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)^2=x^2 - x^3 + o(x^3)$
因此：
$f[\ln(1+x)]=f(0)+\left(x^2 - x^3\right)+o(x^3)=f(0)+x^2 - x^3 + o(x^3)$

步骤4：计算分子$f(x)-f[\ln(1+x)]$

$f(x)-f[\ln(1+x)]=\left[f(0)+x^2+o(x^2)\right]-\left[f(0)+x^2 - x^3 + o(x^3)\right]=x^3 + o(x^3)$

步骤5：求极限

$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f[\ln(1+x)]}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3 + o(x^3)}{x^3}=1$