若二维随机变量 (X, Y) 的概率密度函数为[ f(x, y) = } 1, & |y| A. 0B. x^2C. 1D. 2x

本题考查条件概率密度函数的计算。解题思路是先明确条件概率密度函数的计算公式，再根据已知的联合概率密度函数求出边缘概率密度函数，最后代入公式计算指定条件下的条件概率密度函数值。

步骤一：明确条件概率密度函数公式

对于二维随机变量$(X,Y)$，条件概率密度函数$f_{Y|X}(y|x)$的计算公式为：
$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$
其中$f(x,y)$是联合概率密度函数，$f_X(x)$是$X$的边缘概率密度函数。

步骤二：求$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$

根据边缘概率密度函数的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
已知$f(x,y) = \begin{cases} 1, & |y| < x, 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其它}, \end{cases}$，当$0 < x < 1$时：
$f_X(x)=\int_{-x}^{x}1\cdot dy$
根据定积分的计算法则$\int_{a}^{b}kdy=k(b - a)$（$k$为常数），可得：
$f_X(x)=y\big|_{-x}^{x}=x - (-x)=2x$
当$x\notin(0,1)$时，$f_X(x)=0$。
所以$f_X(x)=\begin{cases}2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$

步骤三：计算$f_{Y|X}(y|x)$

将$f(x,y)$和$f_X(x)$代入条件概率密度函数公式$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，当$0 < x < 1$且$|y| < x$时：
$f_{Y|X}(y|x)=\frac{1}{2x}$

步骤四：计算$f_{Y|X}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{1}{2}\right)$

将$x = \frac{1}{2}$代入$f_{Y|X}(y|x)=\frac{1}{2x}$，可得：
$f_{Y|X}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2\times\frac{1}{2}} = 1$