求指导本题解题过程，谢谢您！......-|||---(11,-|||-4.设随机变量X服从泊松分布,且 X=1 =P X=2 , 则E(X)和D(X)分-|||-别是 () .-|||-A.2,2 B. dfrac (1)(2) dfrac (1)(2) C.2,4 D. dfrac (1)(2) dfrac (1)(4)

本题考查泊松分布的概率分布律、期望和方差的知识点。解题思路是先根据泊松分布的概率分布律，结合已知条件$P\{ X = 1\} = P\{ X = 2\}$求出参数$\lambda$的值，再根据泊松分布的期望和方差的性质求出$E(X)$和$D(X)$。

步骤一：明确泊松分布的概率分布律

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率分布律为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda\gt0$。

步骤二：根据已知条件列方程

已知$P\{ X = 1\} = P\{ X = 2\}$，将$k = 1$和$k = 2$代入泊松分布的概率分布律可得：
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$

步骤三：解方程求出$\lambda$的值

由于$e^{-\lambda}\neq0$（指数函数的值恒大于$0$），方程两边同时除以$e^{-\lambda}$可得：
$\frac{\lambda}{1} = \frac{\lambda^2}{2}$
移项得到$\lambda^2 - 2\lambda = 0$，提取公因式$\lambda$可得$\lambda(\lambda - 2) = 0$。
则$\lambda = 0$或$\lambda - 2 = 0$，即$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。
因为泊松分布的参数$\lambda\gt0$，所以舍去$\lambda = 0$，得到$\lambda = 2$。

步骤四：根据泊松分布的性质求出$E(X)$和$D(X)$

对于服从参数为$\lambda$的泊松分布的随机变量$X$，其期望$E(X) = \lambda$，方差$D(X) = \lambda$。
已知$\lambda = 2$，所以$E(X) = 2$，$D(X) = 2$。