题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(1) '-yln y=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $xy'-y\ln y=0$。首先，我们分离变量，将方程重写为 $\dfrac{dy}{y\ln y}=\dfrac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y\ln y}=\int \dfrac{dx}{x}$。左边的积分可以通过代换 $u=\ln y$ 来解决，从而 $du=\dfrac{1}{y}dy$。因此，左边的积分变为 $\int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边的积分是 $\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
步骤 3：合并常数
将两边的积分结果合并，得到 $\ln|\ln y|=\ln|x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$ 是新的常数。通过指数运算，可以得到 $|\ln y|=e^{\ln|x|+C}=|x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C'$，即 $|\ln y|=C'|x|$。因此，$\ln y=\pm C'|x|$。最后，通过指数运算，得到 $y=e^{\pm C'|x|}$。
给定的微分方程是 $xy'-y\ln y=0$。首先，我们分离变量，将方程重写为 $\dfrac{dy}{y\ln y}=\dfrac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y\ln y}=\int \dfrac{dx}{x}$。左边的积分可以通过代换 $u=\ln y$ 来解决，从而 $du=\dfrac{1}{y}dy$。因此，左边的积分变为 $\int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边的积分是 $\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
步骤 3：合并常数
将两边的积分结果合并，得到 $\ln|\ln y|=\ln|x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$ 是新的常数。通过指数运算，可以得到 $|\ln y|=e^{\ln|x|+C}=|x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C'$，即 $|\ln y|=C'|x|$。因此，$\ln y=\pm C'|x|$。最后，通过指数运算，得到 $y=e^{\pm C'|x|}$。