题目

求由摆线 x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) 的一拱 (0 leq t leq 2pi)与横轴所围成的图形面积 A. piB. pi a^2C. 2pi a^2D. 3pi a^2

求由摆线 $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ 的一拱 ($0 \leq t \leq 2\pi$)与横轴所围成的图形面积

  • A. $\pi$
  • B. $\pi a^2$
  • C. $2\pi a^2$
  • D. $3\pi a^2$

题目解答

答案

为了求由摆线 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ 的一拱 $(0 \le t \le 2\pi)$ 与横轴所围成的图形面积，我们可以使用参数方程表示的曲线下的面积公式。由参数方程 $x = f(t)$ 和 $y = g(t)$ 从 $t = \alpha$ 到 $t = \beta$ 所围成的面积 $A$ 由下式给出： \[ A = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \, x'(t) \, dt \] 对于给定的摆线，我们有 $x = a(t - \sin t)$ 和 $y = a(1 - \cos t)$。首先，我们需要找到 $x$ 关于 $t$ 的导数： \[ x'(t) = a(1 - \cos t) \] 现在，将 $y(t)$ 和 $x'(t)$ 代入面积公式，我们得到： \[ A = \int_{0}^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot a(1 - \cos t) \, dt = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt \] 接下来，我们需要展开并积分 $(1 - \cos t)^2$： \[ (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t \] 使用恒等式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，我们可以重写被积函数： \[ 1 - 2\cos t + \cos^2 t = 1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2} = \frac{2}{2} - \frac{4\cos t}{2} + \frac{1 + \cos 2t}{2} = \frac{3 - 4\cos t + \cos 2t}{2} \] 因此，积分变为： \[ A = a^2 \int_{0}^{2\pi} \frac{3 - 4\cos t + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{2\pi} (3 - 4\cos t + \cos 2t) \, dt \] 我们可以将这个积分拆分为三个独立的积分： \[ A = \frac{a^2}{2} \left( \int_{0}^{2\pi} 3 \, dt - 4 \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt + \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt \right) \] 分别计算每个积分，我们得到： \[ \int_{0}^{2\pi} 3 \, dt = 3t \bigg|_{0}^{2\pi} = 3(2\pi) - 3(0) = 6\pi \] \[ \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = \sin t \bigg|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 \] \[ \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \sin 2t \bigg|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \sin(4\pi) - \frac{1}{2} \sin(0) = 0 \] 将这些结果代回 $A$ 的表达式中，我们得到： \[ A = \frac{a^2}{2} \left( 6\pi - 4 \cdot 0 + 0 \right) = \frac{a^2}{2} \cdot 6\pi = 3\pi a^2 \] 因此，由摆线的一拱与横轴所围成的图形面积是 $\boxed{3\pi a^2}$。正确选项是 $\boxed{D}$。

解析

本题考查利用参数方程求曲线所围成图形的面积。解题思路是先根据参数方程求面积的公式确定积分表达式，再对被积函数进行化简，最后计算定积分得出面积。

  1. 首先明确由参数方程$x = f(t)$和$y = g(t)$从$t = \alpha$到$t = \beta$所围成的面积$A$的公式为：
    • $A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{\prime}(t)dt$。
    • 已知摆线方程$x = a(t - \sin t)$，对其求导，根据求导公式$(X - Y)^\prime=X^\prime - Y^\prime$，$(t)^\prime = 1$，$(\sin t)^\prime=\cos t$，可得$x^{\prime}(t)=a(1 - \cos t)$。
    • 又已知$y = a(1 - \cos t)$，将$y(t)$和$x^{\prime}(t)$代入面积公式，得到$A=\int_{0}^{2\pi}a(1 - \cos t)\cdot a(1 - \cos t)dt=a^{2}\int_{0}^{2\pi}(1 - \cos t)^{2}dt$。
  2. 然后对被积函数$(1 - \cos t)^{2}$进行展开和化简：
    • 根据完全平方公式$(A - B)^{2}=A^{2}-2AB + B^{2}$，$(1 - \cos t)^{2}=1 - 2\cos t+\cos^{2}t$。
    • 利用三角函数的二倍角公式$\cos^{2}t=\frac{1 + \cos2t}{2}$，则$1 - 2\cos t+\cos^{2}t=1 - 2\cos t+\frac{1 + \cos2t}{2}$。
    • 通分可得$1 - 2\cos t+\frac{1 + \cos2t}{2}=\frac{2}{2}-\frac{4\cos t}{2}+\frac{1 + \cos2t}{2}=\frac{3 - 4\cos t+\cos2t}{2}$。
    • 所以$A = a^{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{3 - 4\cos t+\cos2t}{2}dt=\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}(3 - 4\cos t+\cos2t)dt$。
  3. 接着将积分拆分为三个独立的积分：
    • $A=\frac{a^{2}}{2}\left(\int_{0}^{2\pi}3dt-4\int_{0}^{2\pi}\cos tdt+\int_{0}^{2\pi}\cos2tdt\right)$。
  4. 最后分别计算这三个积分：
    • 对于$\int_{0}^{2\pi}3dt$，根据积分公式$\int kdt=kt + C$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{2\pi}3dt=3t\big|_{0}^{2\pi}=3\times(2\pi)-3\times0 = 6\pi$。
    • 对于$\int_{0}^{2\pi}\cos tdt$，根据积分公式$\int\cos tdt=\sin t + C$，可得$\int_{0}^{2\pi}\cos tdt=\sin t\big|_{0}^{2\pi}=\sin(2\pi)-\sin(0)=0$。
    • 对于$\int_{0}^{2\pi}\cos2tdt$，令$u = 2t$，则$du = 2dt$，$\int\cos2tdt=\frac{1}{2}\int\cos udu=\frac{1}{2}\sin u + C=\frac{1}{2}\sin2t + C$，所以$\int_{0}^{2\pi}\cos2tdt=\frac{1}{2}\sin2t\big|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}\sin(4\pi)-\frac{1}{2}\sin(0)=0$。
    • 将上述结果代入$A$的表达式，$A=\frac{a^{2}}{2}(6\pi-4\times0 + 0)=3\pi a^{2}$。