题目

12、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=}e^-y,&x>0,y>x0,&其它,求：1)边缘概率密度；(8分)2)判断X与Y是否相互独立？(2分)3)P(X+Y≤1).(10分)

12、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 $$ f(x,y)=\begin{cases}e^{-y},&x>0,y>x\\0,&其它\end{cases}, $$ 求：1)边缘概率密度；(8分) 2)判断X与Y是否相互独立？(2分) 3)P{X+Y≤1}.(10分)

题目解答

答案

1. **边缘概率密度** - $ f_X(x) $：对 $ y $ 积分，范围为 $ y > x $ $$ f_X(x) = \int_x^\infty e^{-y} \, dy = e^{-x}, \quad x > 0 $$ - $ f_Y(y) $：对 $ x $ 积分，范围为 $ 0 < x < y $ $$ f_Y(y) = \int_0^y e^{-y} \, dx = y e^{-y}, \quad y > 0 $$ 2. **独立性判断** $ f(x, y) = e^{-y} $（$ x > 0, y > x $）， $ f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-(x+y)} $， 由于 $ f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y) $，故 **不独立**。 3. **概率计算** 积分区域：$ 0 < x < \frac{1}{2} $，$ x < y < 1-x $ $$ P\{X + Y \leq 1\} = \int_0^{\frac{1}{2}} \int_x^{1-x} e^{-y} \, dy \, dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ e^{-x} - e^{-(1-x)} \right] \, dx = 1 - 2e^{-\frac{1}{2}} + e^{-1} $$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & f_X(x) = e^{-x} \, (x > 0), \quad f_Y(y) = y e^{-y} \, (y > 0) \\ 2. & \text{不独立} \\ 3. & 1 - 2e^{-\frac{1}{2}} + e^{-1} \end{array} } \]

解析

本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度、独立性判断以及概率计算的相关知识。解题思路如下：

  1. 求边缘概率密度：
    • 对于边缘概率密度 $f_X(x)$，根据定义，需要对联合概率密度函数 $f(x,y)$ 关于 $y$ 进行积分。由于联合概率密度函数 $f(x,y)$ 中 $y$ 的取值范围是 $y \gt x$，所以积分下限为 $x$，上限为 $+\infty$。
    • 对于边缘概率密度 $f_Y(y)$，需要对联合概率密度函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 进行积分。此时 $x$ 的取值范围是 $0 \lt x \lt y$，所以积分下限为 $0$，上限为 $y$。
  2. 判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立：
    • 根据随机变量相互独立的定义，若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。我们已经求出了 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$，只需将它们相乘并与 $f(x,y)$ 进行比较即可。
  3. 计算 $P\{X + Y \leq 1\}$：
    • 首先确定积分区域。由 $x \gt 0$，$y \gt x$ 和 $x + y \leq 1$ 联立求解，可得 $0 \lt x \lt \frac{1}{2}$，$x \lt y \lt 1 - x$。
    • 然后根据联合概率密度函数进行二重积分计算，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。

下面进行详细的计算：

  1. 求边缘概率密度：
    • 计算 $f_X(x)$：
      根据公式 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，已知 $f(x,y)=\begin{cases}e^{-y},&x\gt{}0,y\gt{}x\\0,&其它\end{cases}$，则
      $\begin{align*} f_X(x)&=\int_x^{+\infty}e^{-y}dy\\ &=-\left.e^{-y}\right|_x^{+\infty}\\ &=-(0 - e^{-x})\\ &=e^{-x}, \quad x \gt 0 \end{align*}$
    • 计算 $f_Y(y)$：
      根据公式 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$，则
      $\begin{align*} f_Y(y)&=\int_0^y e^{-y}dx\\ &=e^{-y}\int_0^y dx\\ &=e^{-y}\cdot x\big|_0^y\\ &=y e^{-y}, \quad y \gt 0 \end{align*}$
  2. 判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立：
    已知 $f(x,y)=e^{-y}$（$x \gt 0, y \gt x$），$f_X(x) = e^{-x}$（$x \gt 0$），$f_Y(y) = y e^{-y}$（$y \gt 0$），则 $f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}\cdot y e^{-y}=y e^{-(x + y)}$。
    因为 $f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。
  3. 计算 $P\{X + Y \leq 1\}$：
    $\begin{align*} P\{X + Y \leq 1\}&=\int_0^{\frac{1}{2}}\int_x^{1 - x}e^{-y}dydx\\ &=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(-e^{-y}\right)\big|_x^{1 - x}dx\\ &=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(-e^{-(1 - x)} + e^{-x}\right)dx\\ &=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(e^{-x} - e^{-(1 - x)}\right)dx\\ &=\left(-e^{-x} + e^{-(1 - x)}\right)\big|_0^{\frac{1}{2}}\\ &=\left(-e^{-\frac{1}{2}} + e^{-(1 - \frac{1}{2})}\right)-\left(-e^0 + e^{-(1 - 0)}\right)\\ &=-e^{-\frac{1}{2}} + e^{-\frac{1}{2}} + 1 - e^{-1}\\ &=1 - 2e^{-\frac{1}{2}} + e^{-1} \end{align*}$