题目
27.设f(x)在[1,2]可导，(1,2)连续，且f(1) =2，f(2) =1，证明:(1)至少口a口(1,2)，使得：f(a) =a； （2）存在两个不同的点口、口口(1,2)，使得：f' （口）·f'（口）=1.
27.设f(x)在[1,2]可导，(1,2)连续，且f(1) =2，f(2) =1，证明:(1)至少
a
(1,2)，使得：f(a) =a；
（2）存在两个不同的点
、
(1,2)，使得：f' （）·f'（）=1.
题目解答
答案
（1）、令F(x)=f(x)-x，x[1,2]；已知f(x)在[1,2]可导，(1,2)连续，且f(1) =2，f(2) =1；可知F(1)=1
" data-width="14" data-height="15" data-size="292" data-format="png" style="max-width:100%">0，F(2)=-1
0，根据零点定理可得至少a(1,2)，使得：F(a)=f(a) -a=0，即f(a) =a.
（2）、由（1）知至少a(1,2)，使得：f(a) =a；在[1,a]，点(1,a)
(1,2)，使得f' （）=
=
；同样的，在[a,2]，点(a,2)(1,2)，使得f'（）=
=
.从而有f' （）·f'（）=·=1.即存在两个不同的点、(1,2)，使得：f' （）·f'（）=1，命题得证
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$，其中 $x \in [1, 2]$。由于 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上可导且在 $(1, 2)$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[1, 2]$ 上可导且在 $(1, 2)$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(1)$ 和 $F(2)$
根据题目条件，$f(1) = 2$ 和 $f(2) = 1$，因此 $F(1) = f(1) - 1 = 2 - 1 = 1$，$F(2) = f(2) - 2 = 1 - 2 = -1$。
步骤 3：应用零点定理
由于 $F(1) = 1 > 0$，$F(2) = -1 < 0$，根据零点定理，存在 $a \in (1, 2)$，使得 $F(a) = 0$，即 $f(a) - a = 0$，从而 $f(a) = a$。
步骤 4：应用拉格朗日中值定理
在区间 $[1, a]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (1, a)$，使得 $f'(\xi_1) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1} = \frac{a - 2}{a - 1}$。
在区间 $[a, 2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2 \in (a, 2)$，使得 $f'(\xi_2) = \frac{f(2) - f(a)}{2 - a} = \frac{1 - a}{2 - a}$。
步骤 5：计算 $f'(\xi_1) \cdot f'(\xi_2)$
计算 $f'(\xi_1) \cdot f'(\xi_2) = \frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{1 - a}{2 - a} = 1$。
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$，其中 $x \in [1, 2]$。由于 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上可导且在 $(1, 2)$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[1, 2]$ 上可导且在 $(1, 2)$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(1)$ 和 $F(2)$
根据题目条件，$f(1) = 2$ 和 $f(2) = 1$，因此 $F(1) = f(1) - 1 = 2 - 1 = 1$，$F(2) = f(2) - 2 = 1 - 2 = -1$。
步骤 3：应用零点定理
由于 $F(1) = 1 > 0$，$F(2) = -1 < 0$，根据零点定理，存在 $a \in (1, 2)$，使得 $F(a) = 0$，即 $f(a) - a = 0$，从而 $f(a) = a$。
步骤 4：应用拉格朗日中值定理
在区间 $[1, a]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (1, a)$，使得 $f'(\xi_1) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1} = \frac{a - 2}{a - 1}$。
在区间 $[a, 2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2 \in (a, 2)$，使得 $f'(\xi_2) = \frac{f(2) - f(a)}{2 - a} = \frac{1 - a}{2 - a}$。
步骤 5：计算 $f'(\xi_1) \cdot f'(\xi_2)$
计算 $f'(\xi_1) \cdot f'(\xi_2) = \frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{1 - a}{2 - a} = 1$。