4. 设向量组 (alpha )_(1)=((0,1,1))^T, (alpha )_(2)=((1,0,1))^T (alpha )_(3)=((2,1,0))^T (alpha )_(4)=((1,1,1))^T-|||-(1)求向量组的秩;-|||-(2)求此向量组的一个极大无关组,并把其余向量用所求的极大无关组线性表

本题主要考查向量组的秩、极大无关组的求法以及向量用极大无关组线性表示，解题思路是通过将向量组构成矩阵，对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而求解相关问题。

1. 求向量组的秩：
   • 设矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)=\begin{pmatrix}0&1&2&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}$。
   • 对矩阵$A$进行初等行变换：
     • 交换第一行和第二行，得到$\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&2&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}$。
     • 第三行减去第一行，得到$\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&2&1\\0&1& - 1&0\end{pmatrix}$。
     • 第三行减去第二行，得到$\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&2&1\\0&0& - 3& - 1\end{pmatrix}$。
   • 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，所以$r(A)=3$，即向量组的秩为$3$。
2. 求向量组的一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示：
   • 由上述行阶梯形矩阵可知，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是一个极大无关组。
   • 设$\alpha_4 = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，即$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$，可得到方程组$\begin{cases}x_2 + 2x_3 = 1\\x_1 + x_3 = 1\\x_1 + x_2 = 1\end{cases}$。
   • 由$x_2 + 2x_3 = 1$可得$x_2 = 1 - 2x_3$，由$x_1 + x_3 = 1$可得$x_1 = 1 - x_3$。
   • 将$x_1 = 1 - x_3$，$x_2 = 1 - 2x_3$代入$x_1 + x_2 = 1$中，得到$(1 - x_3)+(1 - 2x_3)=1$。
   • 化简方程$(1 - x_3)+(1 - 2x_3)=1$：
     • 去括号得$1 - x_3 + 1 - 2x_3 = 1$。
     • 合并同类项得$2 - 3x_3 = 1$。
     • 移项得$3x_3 = 1$，解得$x_3=\frac{1}{3}$。
   • 将$x_3=\frac{1}{3}$代入$x_1 = 1 - x_3$，可得$x_1 = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；代入$x_2 = 1 - 2x_3$，可得$x_2 = 1 - 2\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。
   • 所以$\alpha_4=\frac{2}{3}\alpha_1+\frac{1}{3}\alpha_2+\frac{1}{3}\alpha_3$。