题目

以下是求xy' - y ln y = 0的通解的步骤，请选出正确步骤[]。 A. 分离变量得(1)/(y ln y) dy = (1)/(x) dxB. 两边积分得ln |ln y| = ln |x| + ln |C_1|C. 两边积分得ln |y| = ln |x| + ln |C_1|D. 原方程通解为y = e^CxE. 原方程通解为y = Ce^xA. a-c-eB. a-c-dC. a-b-dD. a-b-e

以下是求$xy' - y \ln y = 0$的通解的步骤，请选出正确步骤[]。

  • A. 分离变量得$\frac{1}{y \ln y} dy = \frac{1}{x} dx$
  • B. 两边积分得$\ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1|$
  • C. 两边积分得$\ln |y| = \ln |x| + \ln |C_1|$
  • D. 原方程通解为$y = e^{Cx}$
  • E. 原方程通解为$y = Ce^x$
  • A. a-c-e
  • B. a-c-d
  • C. a-b-d
  • D. a-b-e

题目解答

答案

我们来一步一步分析这个题目，判断哪个步骤是正确的，并找出原方程的通解。 --- ### 一、原方程： $$ xy' - y \ln y = 0 $$ 首先，我们整理一下方程： $$ xy' = y \ln y $$ 将 $ y' $ 写成 $ \frac{dy}{dx} $，得： $$ x \frac{dy}{dx} = y \ln y $$ --- ### 二、分离变量 我们尝试将变量 $ x $ 和 $ y $ 分离： $$ \frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x} $$ 这个步骤是正确的，所以： ✅ **a 是正确的** --- ### 三、两边积分 我们对两边分别积分： 左边是关于 $ y $ 的积分： $$ \int \frac{1}{y \ln y} dy $$ 令 $ u = \ln y $，则 $ du = \frac{1}{y} dy $，所以： $$ \int \frac{1}{y \ln y} dy = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln y| + C $$ 右边是： $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $$ 所以积分后得到： $$ \ln |\ln y| = \ln |x| + C $$ 我们可以将常数写成 $ \ln |C_1| $，即： $$ \ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1| $$ 所以： ✅ **b 是正确的** --- ### 四、求通解 我们从： $$ \ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1| $$ 两边取指数： $$ |\ln y| = |C_1 x| $$ 去掉绝对值（考虑常数的正负）： $$ \ln y = C x \quad \text{（其中 } C = \pm C_1 \text{）} $$ 再取指数： $$ y = e^{C x} $$ 所以： ✅ **d 是正确的** --- ### 五、选项分析 我们来核对选项： - A. a-c-e → 错误，c 是错误的（积分后不是 $ \ln |y| $） - B. a-c-d → 错误，c 是错误的 - C. a-b-d → ✅ 正确 - D. a-b-e → 错误，e 是错误的（正确通解是 $ y = e^{Cx} $，不是 $ Ce^x $） --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{\text{C. a-b-d}} $$

解析

本题考查一阶可分离变量的微分方程的求解，解题思路是先将方程进行分离变量，然后对分离后的方程两边进行积分，最后通过化简得到方程的通解。

  1. 分离变量：
    已知原方程$xy' - y \ln y = 0$，将$y'$写成$\frac{dy}{dx}$，方程可化为$x\frac{dy}{dx}=y\ln y$。
    当$y\neq 1$且$y>0$时，分离变量可得$\frac{1}{y\ln y}dy = \frac{1}{x}dx$，所以选项A正确。
  2. 两边积分：
    对$\frac{1}{y\ln y}dy = \frac{1}{x}dx$两边分别积分。
    • 计算$\int\frac{1}{y\ln y}dy$：
      令$u = \ln y$，则$du=\frac{1}{y}dy$，那么$\int\frac{1}{y\ln y}dy=\int\frac{1}{u}du$。
      根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C_1$，将$u = \ln y$代回可得$\int\frac{1}{y\ln y}dy=\ln|\ln y| + C_1$。
    • 计算$\int\frac{1}{x}dx$：
      根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C_2$。
      所以两边积分后得到$\ln|\ln y|=\ln|x| + C$（$C = C_2 - C_1$），令$C = \ln|C_1|$，则$\ln|\ln y| = \ln|x| + \ln|C_1|$，选项B正确。
  3. 求通解：
    由$\ln|\ln y| = \ln|x| + \ln|C_1|$，根据对数运算法则$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，可得$\ln|\ln y|=\ln|C_1x|$。
    两边同时取指数，得到$|\ln y| = |C_1x|$，去掉绝对值符号（考虑常数的正负），令$C = \pm C_1$，则$\ln y = Cx$。
    再两边同时取指数，可得$y = e^{Cx}$，选项D正确。