题目
6.计算二重积分 iintlimits_(D) |y-x^2|dsigma，其中积分区域D=(x,y)|-1le xle 1,0le yle 1.
6.计算二重积分$ \iint\limits_{D} |y-x^{2}|d\sigma$，其中积分区域$D=\{(x,y)|-1\le x\le 1,0\le y\le 1\}.$
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 分为两部分：$D_1$（$y \le x^2$）和 $D_2$（$y \ge x^2$）。利用对称性，只需计算 $x \ge 0$ 的部分，然后乘以 2。
1. 计算 $\iint_{D_1'} (x^2 - y) \, d\sigma$：
\[
\int_0^1 \int_0^{x^2} (x^2 - y) \, dy \, dx = \int_0^1 \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{10}.
\]
2. 计算 $\iint_{D_2'} (y - x^2) \, d\sigma$：
\[
\int_0^1 \int_{x^2}^1 (y - x^2) \, dy \, dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \right) \, dx = \frac{4}{15}.
\]
3. 总积分：
\[
2 \left( \frac{1}{10} + \frac{4}{15} \right) = 2 \times \frac{11}{30} = \frac{11}{15}.
\]
答案：$\boxed{\frac{11}{15}}$
解析
步骤 1：划分积分区域
将积分区域 $D$ 分为两部分：$D_1$（$y \le x^2$）和 $D_2$（$y \ge x^2$）。利用对称性，只需计算 $x \ge 0$ 的部分，然后乘以 2。
步骤 2：计算 $\iint_{D_1'} (x^2 - y) \, d\sigma$
\[ \int_0^1 \int_0^{x^2} (x^2 - y) \, dy \, dx = \int_0^1 \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{10}. \]
步骤 3：计算 $\iint_{D_2'} (y - x^2) \, d\sigma$
\[ \int_0^1 \int_{x^2}^1 (y - x^2) \, dy \, dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \right) \, dx = \frac{4}{15}. \]
步骤 4：计算总积分
\[ 2 \left( \frac{1}{10} + \frac{4}{15} \right) = 2 \times \frac{11}{30} = \frac{11}{15}. \]
将积分区域 $D$ 分为两部分：$D_1$（$y \le x^2$）和 $D_2$（$y \ge x^2$）。利用对称性，只需计算 $x \ge 0$ 的部分，然后乘以 2。
步骤 2：计算 $\iint_{D_1'} (x^2 - y) \, d\sigma$
\[ \int_0^1 \int_0^{x^2} (x^2 - y) \, dy \, dx = \int_0^1 \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{10}. \]
步骤 3：计算 $\iint_{D_2'} (y - x^2) \, d\sigma$
\[ \int_0^1 \int_{x^2}^1 (y - x^2) \, dy \, dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \right) \, dx = \frac{4}{15}. \]
步骤 4：计算总积分
\[ 2 \left( \frac{1}{10} + \frac{4}{15} \right) = 2 \times \frac{11}{30} = \frac{11}{15}. \]