题目

6.[判断题]判断题假定f(x,y)=(x+sin y)(y-cos x)且h(y)=f((pi)/(3),y),则(partial f)/(partial y)(pi/3,-pi/2)=(dh)/(dy)(-pi/2)1.对2.错

6.[判断题]判断题 假定f(x,y)=(x+sin y)(y-cos x)且$h(y)=f(\frac{\pi}{3},y)$,则 $\frac{\partial f}{\partial y}(\pi/3,-\pi/2)=\frac{dh}{dy}(-\pi/2)$ 1.对 2.错

题目解答

答案

为了判断给定的陈述是否正确，我们需要计算$\frac{\partial f}{\partial y}(\pi/3, -\pi/2)$和$\frac{dh}{dy}(-\pi/2)$，然后比较它们的值。 首先，我们从函数$f(x, y) = (x + \sin y)(y - \cos x)$开始。我们需要找到偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$。 使用乘积法则，我们得到： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[(x + \sin y)(y - \cos x)] = (x + \sin y) \frac{\partial}{\partial y}[y - \cos x] + (y - \cos x) \frac{\partial}{\partial y}[x + \sin y] \] 由于$\frac{\partial}{\partial y}[y - \cos x] = 1$和$\frac{\partial}{\partial y}[x + \sin y] = \cos y$，我们有： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = (x + \sin y) \cdot 1 + (y - \cos x) \cdot \cos y = x + \sin y + (y - \cos x) \cos y \] 现在，我们需要在$(\pi/3, -\pi/2)$处评估这个偏导数： \[ \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \left(-\frac{\pi}{2} - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \] 由于$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$和$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$，我们得到： \[ \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{3} - 1 + \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot 0 = \frac{\pi}{3} - 1 \] 接下来，我们考虑函数$h(y) = f\left(\frac{\pi}{3}, y\right)$。将$x = \frac{\pi}{3}$代入函数$f$，我们得到： \[ h(y) = \left(\frac{\pi}{3} + \sin y\right)\left(y - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{3} + \sin y\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) \] 我们需要找到导数$\frac{dh}{dy}$： \[ \frac{dh}{dy} = \frac{d}{dy}\left[\left(\frac{\pi}{3} + \sin y\right)\left(y - \frac{1}{2}\right)\right] = \left(\frac{\pi}{3} + \sin y\right) \frac{d}{dy}\left[y - \frac{1}{2}\right] + \left(y - \frac{1}{2}\right) \frac{d}{dy}\left[\frac{\pi}{3} + \sin y\right] \] 由于$\frac{d}{dy}\left[y - \frac{1}{2}\right] = 1$和$\frac{d}{dy}\left[\frac{\pi}{3} + \sin y\right] = \cos y$，我们有： \[ \frac{dh}{dy} = \left(\frac{\pi}{3} + \sin y\right) \cdot 1 + \left(y - \frac{1}{2}\right) \cdot \cos y = \frac{\pi}{3} + \sin y + \left(y - \frac{1}{2}\right) \cos y \] 现在，我们需要在$y = -\frac{\pi}{2}$处评估这个导数： \[ \frac{dh}{dy}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \] 由于$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$和$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$，我们得到： \[ \frac{dh}{dy}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{3} - 1 + \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot 0 = \frac{\pi}{3} - 1 \] 由于$\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}\right) = \frac{dh}{dy}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$，给定的陈述是正确的。 答案是$\boxed{1}$。

解析

本题主要考查多元函数偏导数的计算以及一元函数导数的计算，通过分别计算$\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2})$和$\frac{dh}{dy}(-\frac{\pi}{2})$的值，再比较二者是否相等来判断命题的对错。

  1. 计算$\frac{\partial f}{\partial y}$：
    已知$f(x, y) = (x + \sin y)(y - \cos x)$，根据乘积法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x + \sin y$，$v = y - \cos x$。
    对$u$关于$y$求偏导数：$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x + \sin y)=\cos y$；
    对$v$关于$y$求偏导数：$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y - \cos x)=1$。
    则$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[(x + \sin y)(y - \cos x)] = (x + \sin y) \cdot 1 + (y - \cos x) \cdot \cos y = x + \sin y + (y - \cos x) \cos y$。
  2. 计算$\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2})$：
    将$x = \frac{\pi}{3}$，$y = -\frac{\pi}{2}$代入$\frac{\partial f}{\partial y}$中，因为$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$，$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，所以：
    $\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2})&=\frac{\pi}{3} + \sin(-\frac{\pi}{2}) + (-\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{3}) \cos(-\frac{\pi}{2})\\&=\frac{\pi}{3} - 1 + (-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 0\\&=\frac{\pi}{3} - 1\end{align*}$
  3. 计算$h(y)$：
    已知$h(y) = f(\frac{\pi}{3}, y)$，将$x = \frac{\pi}{3}$代入$f(x, y)$可得：
    $h(y) = (\frac{\pi}{3} + \sin y)(y - \cos\frac{\pi}{3}) = (\frac{\pi}{3} + \sin y)(y - \frac{1}{2})$。
  4. 计算$\frac{dh}{dy}$：
    对$h(y)$使用乘积法则求导，设$u = \frac{\pi}{3} + \sin y$，$v = y - \frac{1}{2}$。
    对$u$关于$y$求导：$\frac{du}{dy}=\frac{d}{dy}(\frac{\pi}{3} + \sin y)=\cos y$；
    对$v$关于$y$求导：$\frac{dv}{dy}=\frac{d}{dy}(y - \frac{1}{2})=1$。
    则$\frac{dh}{dy} = \frac{d}{dy}[(\frac{\pi}{3} + \sin y)(y - \frac{1}{2})] = (\frac{\pi}{3} + \sin y) \cdot 1 + (y - \frac{1}{2}) \cdot \cos y = \frac{\pi}{3} + \sin y + (y - \frac{1}{2}) \cos y$。
  5. 计算$\frac{dh}{dy}(-\frac{\pi}{2})$：
    将$y = -\frac{\pi}{2}$代入$\frac{dh}{dy}$中，因为$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$，$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$，所以：
    $\begin{align*}\frac{dh}{dy}(-\frac{\pi}{2})&=\frac{\pi}{3} + \sin(-\frac{\pi}{2}) + (-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2})\\&=\frac{\pi}{3} - 1 + (-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 0\\&=\frac{\pi}{3} - 1\end{align*}$
  6. 比较$\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2})$和$\frac{dh}{dy}(-\frac{\pi}{2})$：
    由前面计算可知$\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}) = \frac{dh}{dy}(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} - 1$，所以给定的陈述是正确的。