设 C 为正向单位圆周 |z|=1，则复积分 int_(C) (sin z)/(z^2) dz 的值为A. 0B. pi iC. 2pi iD. 2pi

本题考查柯西积分公式及其推论的应用。解题思路是先判断被积函数的奇点，再根据奇点与积分路径的位置关系，利用柯西积分公式的推论来计算复积分。

已知积分路径 $C$ 为正向单位圆周 $|z| = 1$，被积函数为 $f(z)=\frac{\sin z}{z^2}$。

• 步骤一：确定被积函数的奇点
  对于函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z^2}$，分母为 $z^2$，当 $z = 0$ 时，分母为 $0$，所以 $z = 0$ 是函数 $f(z)$ 的奇点。
• 步骤二：判断奇点与积分路径的位置关系
  由于积分路径 $C$ 为正向单位圆周 $|z| = 1$，而奇点 $z = 0$ 满足 $|0|=0<1$，即奇点 $z = 0$ 在积分路径 $C$ 所围成的区域内。
• 步骤三：利用柯西积分公式的推论计算积分
  柯西积分公式的推论为：若 $f(z)$ 在简单正向闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外连续，则 $\int_{C}\frac{f(z)}{(z - z_0)^n}dz=\frac{2\pi i}{(n - 1)!}f^{(n - 1)}(z_0)$，其中 $n$ 为正整数，$z_0$ 是 $C$ 内的一点。
  在本题中，$f(z)=\sin z$，$n = 2$，$z_0 = 0$。
  先求 $f(z)=\sin z$ 的一阶导数，根据求导公式 $(\sin x)^\prime=\cos x$，可得 $f^\prime(z)=\cos z$。
  将 $z_0 = 0$ 代入 $f^\prime(z)$，得 $f^\prime(0)=\cos 0 = 1$。
  再根据柯西积分公式的推论，$\int_{C}\frac{\sin z}{z^2}dz=\frac{2\pi i}{(2 - 1)!}f^\prime(0)$。
  因为 $(2 - 1)!=1!$，$f^\prime(0)=1$，所以 $\int_{C}\frac{\sin z}{z^2}dz=\frac{2\pi i}{1}\times1 = 2\pi i$。