题目
35.[多选题]hat(Y)表示OLS估计回归值，u表示随机误差项。如果Y与X为线性相关关系，则下列哪些是正确的( )A. Y_(i)=beta_(0)+beta_(1)X_(i)B. Y_(i)=beta_(0)+beta_(1)X_(i)+u_(i)C. hat(Y)_(i)=hat(beta)_(0)+hat(beta)_(1)X_(i)+u_(i)D. hat(Y)_(i)=hat(beta)_(0)+hat(beta)_(1)X_(i)+e_(i)E. hat(Y)_(i)=hat(beta)_(0)+hat(beta)_(1)X_(i)
35.[多选题]$\hat{Y}$表示OLS估计回归值，u表示随机误差项。如果Y与X为线性相关关系，则下列哪些是正确的( )
A. $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}$
B. $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}+u_{i}$
C. $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}+u_{i}$
D. $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}+e_{i}$
E. $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}$
题目解答
答案
BE
B. $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}+u_{i}$
E. $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}$
B. $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}+u_{i}$
E. $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}$
解析
本题考查的是线性回归模型的基本形式，包括总体回归函数（PRF）和样本回归函数（SRF）的表达式。解题的关键在于理解总体真实值、估计值以及随机误差项和残差项的区别。
对各选项的分析
- 选项A：
- 总体回归函数（PRF）的正确形式应该包含随机误差项。因为在实际情况中，$Y_i$ 不可能完全精确地由 $\beta_0 + \beta_1X_i$ 确定，总会存在一些未被模型解释的因素，这些因素用随机误差项 $u_i$ 来表示。所以总体回归函数的完整表达式为 $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}+u_{i}$，而不是 $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}$，故选项A错误。
- 选项B：
- 总体回归函数（PRF）描述了总体中 $Y$ 与 $X$ 之间的真实线性关系。其中 $\beta_0$ 是截距项，$\beta_1$ 是斜率项，$u_i$ 是随机误差项，它代表了除 $X$ 之外其他所有影响 $Y$ 的未观测因素。所以 $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{i}+u_{i}$ 是总体回归函数的正确表达式，选项B正确。
- 选项C：
- $\hat{Y}_i$ 是根据样本数据估计得到的回归值，也就是样本回归函数（SRF）的预测值。样本回归函数中不应该包含总体的随机误差项 $u_i$，而应该包含残差项 $e_i$。残差项 $e_i$ 是样本观测值 $Y_i$ 与样本回归函数预测值 $\hat{Y}_i$ 之间的差值，即 $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$。所以选项C错误。
- 选项D：
- 样本回归函数（SRF）的表达式为 $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}$，其中 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 是根据样本数据估计得到的截距和斜率的估计值。残差项 $e_i$ 是 $Y_i - \hat{Y}_i$，它不应该出现在样本回归函数的表达式中。所以选项D错误。
- 选项E：
- 样本回归函数（SRF）是根据样本数据对总体回归函数进行估计得到的。$\hat{Y}_i$ 是样本回归函数的预测值，$\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 是通过最小二乘法等方法估计得到的参数估计值。所以 $\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}X_{i}$ 是样本回归函数的正确表达式，选项E正确。