设x→0时, ^tan x-(e)^x 与x^n是同阶无穷小,则n为设x→0时, ^tan x-(e)^x 与x^n是同阶无穷小,则n为

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换来分析两个函数差的主部。

解题核心思路：

1. 将$\tan x$展开为泰勒多项式，找到$\tan x - x$的主部；
2. 将$e^{\tan x} - e^x$展开为泰勒多项式，通过差值运算确定最高阶项；
3. 比较差值与$x^n$的阶，确定$n$的值。

破题关键点：

• 关键替换：利用$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$，得到$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$；
• 指数函数展开：将$e^{\tan x} - e^x$转化为$e^x \cdot \left(e^{\tan x - x} - 1\right)$，进一步展开分析主部。

1. 展开$\tan x$
   当$x \to 0$时，$\tan x$的泰勒展开为：
   $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
   因此，$\tan x - x = \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$，即$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$。

2. 处理指数函数差
   将$e^{\tan x} - e^x$变形为：
   $e^{\tan x} - e^x = e^x \cdot \left(e^{\tan x - x} - 1\right)$
   由于$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$，对$e^{\tan x - x}$展开：
   $e^{\tan x - x} - 1 \approx \left(\tan x - x\right) + \dfrac{(\tan x - x)^2}{2} + \cdots$
   忽略高阶小项后，主部为：
   $e^{\tan x - x} - 1 \approx \dfrac{x^3}{3}$

3. 确定整体阶数
   代入$e^x \approx 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，得：
   $e^{\tan x} - e^x \approx e^x \cdot \dfrac{x^3}{3} \approx \left(1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}\right) \cdot \dfrac{x^3}{3}$
   展开后最高阶项为$\dfrac{x^3}{3}$，因此$e^{\tan x} - e^x$与$x^3$同阶。