题目

(94-1 3分)lim_(xto0)cot x((1)/(sin x)-(1)/(x))=____.

(94-1 3分)$\lim_{x\to0}\cot x(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})=$____.

题目解答

答案

将原式化简为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (x - \sin x)}{x \sin^2 x}. \] 利用等价无穷小 $\sin x \sim x$ 和 $\cos x \to 1$，近似为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}. \] 由泰勒展开 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，得： \[ x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}. \] 因此，极限为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}. \] 或使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}. \] 答案：$\boxed{\frac{1}{6}}$

解析

本题考查极限的计算，解题思路是先对原式进行化简，然后利用等价无穷小和泰勒展开来求解极限，也可以使用洛必达法则。

  1. 化简原式：
    • 已知$\lim_{xx\to0}\cot x(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})$，因为$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，所以原式可化为$\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{\sin x}{sin^{2}x}(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})$。
    • 进一步化简为$\(\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{sin^{2}x}(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})$，通分可得$\lim_{x\to0}\frac{\cos x (x - \sin x)}{x \sin^2 x}$。
  2. 利用等价无穷小和泰勒展开求解极限：
    • 利用等价无穷小$\sin x \sim x\ x$和$\cos x \to 1$，近似为$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$。
    • 由泰勒展开$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)}$，得$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$。
    • 因此，极限为$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{16$。
  3. 使用洛必达法则求解极限：
    • 对$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$使用洛必达法则，可得$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$。
    • 再次使用洛必达法则，可得$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac16$。