题目

14.设f(x)在闭区间[0,2]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，f(2)=-1，证明：至少存在一点ξ∈(0,2)，使得f'(ξ)+2ξf'(ξ)+ξf''(ξ)=0.

题目解答

由题意，函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,2]$ 上二阶可导，且满足 $ f(0) = 0 $，$ f(1) = 1 $，$ f(2) = -1 $。

应用零点存在定理：
由于 $ f(1) = 1 $ 和 $ f(2) = -1 $，根据零点存在定理，存在 $ a \in (1,2) $，使得 $ f(a) = 0 $。
应用罗尔定理：
- 在区间 $[0,a]$ 上，$ f(0) = 0 $ 且 $ f(a) = 0 $，由罗尔定理，存在 $ \xi_1 \in (0,a) $，使得 $ f'(\xi_1) = 0 $。
- 在区间 $[0,1]$ 上，存在 $ b \in (0,1) $，使得 $ f(b) = k $（某常数）。
- 在区间 $[1,a]$ 上，存在 $ c \in (1,a) $，使得 $ f(c) = k $。
- 由 $ f(b) = f(c) $，根据罗尔定理，存在 $ \xi_2 \in (b,c) $，使得 $ f'(\xi_2) = 0 $。
再次应用罗尔定理：
在区间 $[\xi_1, \xi_2]$ 上，$ f'(\xi_1) = 0 $ 且 $ f'(\xi_2) = 0 $，由罗尔定理，存在 $ \xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (0,2) $，使得 $ f''(\xi) = 0 $。
结论：
综上，存在 $ \xi \in (0,2) $，满足 $ f'(\xi) = 0 $ 且 $ f''(\xi) = 0 $。将 $ f'(\xi) = 0 $ 和 $ f''(\xi) = 0 $ 代入原式，得：
$f'(\xi) + 2\xi f'(\xi) + \xi f''(\xi) = 0 + 0 + 0 = 0$
故命题得证。

答案：存在 $ \xi \in (0,2) $，使得 $ f'(\xi) + 2\xi f'(\xi) + \xi f''(\xi) = 0 $。

本题考查零点存在定理和罗尔定理的应用。解题的关键关键思路是通过零点存在定理找到函数值值相等的点，再利用罗尔定理找到导数值数值为$0$的点，最后再次使用罗尔定理证明存在满足特定条件的点存在。

应用零点存在定理：
已知$f(1)=1$，$f(1)=1$，$f(2)= - 1$，因为$f(1)$与$f(2)$异号，根据零点存在定理：若函数$y = f(x)$在闭区间$[m,n]$上连续，$f(m)$与$f(n)$异号，则在开区间$(m,n)$内至少存在一点$a$，使得$f(a)=0$。所以存在$a\in(1,2)$，使得$f(a)=0$。
第一次应用罗尔定理：
- 在区间$[0,a]$上，已知$f(0)=0$且$f(a)=0$，根据罗尔定理：若函数$y = f(x)$在闭区间$[m,n]$上连续，在开区间$(m,n)$内可导，且$f(m)=f(n)$，则在开区间$(m,n)$内至少存在一点$\xi_1$，使得$f'(\xi_1)=0$。所以存在$\xi_1\in(0,a)$，使得$f'(\xi_1)=0$。
- 由于$f(x)$在$[0,2]$上连续，根据介值定理，对于介于$f(0)=0$和$f(1)=1$之间的任意值都能取到，所以存在$b\in(0,1)$，使得$f(b)=k$（$k$为某常数）；同理，介于$f(1)=1$和$f(a)=0$之间的任意值也都能取到，所以存在$1,a)$，使得$f(c)=k$。
- 因为$f(b)=f(c)$，且$f(x)$在$[b,c]$上满足罗尔定理的条件，所以存在$\xi_2\in(b,c)$=(0,2))，使得$f'(\xi_2)=0$。
第二次应用罗尔定理：**
在区间$[\xi_1,\xi_2]$上，$f'(\xi_1)=0$且$f'(\xi_2)=0$，$f'(x)$在$[\xi_1,\xi_2]$上满足罗尔定理的条件，所以存在$\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,2)$，使得$f''(\xi)=0$。
验证结论：
将$f'(\xi)=0$和$f''(\xi)=0$代入$f'(\xi)+2\xi f'(\xi)+\xi f''(\xi)$可得：
$f'(\xi)+2\xi f'(\xi)+\xi f''(\xi)=0 + 2\xi\times0+\xi\times0 = 0$