题目
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知((cosA))/((1+sinA))=((sin2B))/((1+cos2B))．（1）若C=((2π))/(3)，求B；（2）求(({a^2)+(b^2)})/(({c^2))}的最小值．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{{sin2B}}{{1+cos2B}}$．
（1）若C=$\frac{{2π}}{3}$，求B；
（2）求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值．
（1）若C=$\frac{{2π}}{3}$，求B；
（2）求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值．
题目解答
答案
解：（1）∵$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{{sin2B}}{{1+cos2B}}$，1+cos2B=2cos2B≠0，cosB≠0．
∴$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{2sinBcosB}{2co{s}^{2}B}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）=sinB，
∴-cosC=sinB，C=$\frac{2π}{3}$，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可得：-cosC=sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B=C-$\frac{π}{2}$．
sinA=sin（B+C）=sin（2C-$\frac{π}{2}$）=-cos2C，
$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$=$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{co{s}^{2}2C+co{s}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{（1-2si{n}^{2}C）^{2}+（1-si{n}^{2}C）}{si{n}^{2}C}$=$\frac{2+4si{n}^{4}C-5si{n}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{2}{si{n}^{2}C}$+4sin2C-5≥2$\sqrt{2×4}$-5=4$\sqrt{2}$-5，当且仅当sinC=$\frac{1}{\root{4}{2}}$时取等号．
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值为4$\sqrt{2}$-5．
∴$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{2sinBcosB}{2co{s}^{2}B}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）=sinB，
∴-cosC=sinB，C=$\frac{2π}{3}$，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可得：-cosC=sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B=C-$\frac{π}{2}$．
sinA=sin（B+C）=sin（2C-$\frac{π}{2}$）=-cos2C，
$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$=$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{co{s}^{2}2C+co{s}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{（1-2si{n}^{2}C）^{2}+（1-si{n}^{2}C）}{si{n}^{2}C}$=$\frac{2+4si{n}^{4}C-5si{n}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{2}{si{n}^{2}C}$+4sin2C-5≥2$\sqrt{2×4}$-5=4$\sqrt{2}$-5，当且仅当sinC=$\frac{1}{\root{4}{2}}$时取等号．
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值为4$\sqrt{2}$-5．
解析
步骤 1：化简已知条件
已知$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{{sin2B}}{{1+cos2B}}$，利用三角恒等变换，将等式两边化简。
步骤 2：求解B
利用三角函数的性质，结合已知条件C=$\frac{{2π}}{3}$，求解B的值。
步骤 3：求解$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值
利用正弦定理和三角函数的性质，求解$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值。
已知$\frac{{cosA}}{{1+sinA}}$=$\frac{{sin2B}}{{1+cos2B}}$，利用三角恒等变换，将等式两边化简。
步骤 2：求解B
利用三角函数的性质，结合已知条件C=$\frac{{2π}}{3}$，求解B的值。
步骤 3：求解$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值
利用正弦定理和三角函数的性质，求解$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{{c^2}}}$的最小值。