题目
8 设x>0，求函数y=x+(4)/(x^2)的最小值.
8 设x>0，求函数$y=x+\frac{4}{x^{2}}$的最小值.
题目解答
答案
为了求函数 $ y = x + \frac{4}{x^2} $ 的最小值，其中 $ x > 0 $，我们可以使用导数来找到函数的临界点，然后确定最小值。
首先，我们求函数 $ y $ 的导数:
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{x^2} \right) = 1 - \frac{8}{x^3}
\]
接下来，我们设置导数等于零来找到临界点:
\[
1 - \frac{8}{x^3} = 0
\]
\[
\frac{8}{x^3} = 1
\]
\[
x^3 = 8
\]
\[
x = 2
\]
现在，我们已经找到了一个临界点 $ x = 2 $。为了确定这个临界点是否是函数的最小值，我们可以使用二阶导数测试。我们求函数 $ y $ 的二阶导数:
\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{8}{x^3} \right) = \frac{24}{x^4}
\]
由于 $ x > 0 $， $ y'' = \frac{24}{x^4} > 0 $。这表明函数 $ y $ 在 $ x = 2 $ 处有一个局部最小值。
现在，我们计算函数 $ y $ 在 $ x = 2 $ 处的值:
\[
y(2) = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3
\]
因此，函数 $ y = x + \frac{4}{x^2} $ 的最小值是 $\boxed{3}$。
解析
考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，以及通过二阶导数判断极值点的性质。
解题核心思路：
- 求导找临界点：对函数求导，令导数为零，解方程得到可能的极值点。
- 二阶导数检验：通过二阶导数的符号判断临界点是否为极小值点。
- 代入求值：将临界点代入原函数计算最小值。
破题关键点：
- 正确求导：注意分式项的导数计算，避免符号错误。
- 方程求解：解三次方程时，注意正实数解的选取。
- 二阶导数的符号：确认极值点的性质，确保是最小值。
步骤1：求一阶导数
函数为 $y = x + \frac{4}{x^2}$，求导得：
$y' = \frac{d}{dx}\left(x\right) + \frac{d}{dx}\left(4x^{-2}\right) = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3}$
步骤2：求临界点
令 $y' = 0$，解方程：
$1 - \frac{8}{x^3} = 0 \implies \frac{8}{x^3} = 1 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$
步骤3：二阶导数检验
求二阶导数：
$y'' = \frac{d}{dx}\left(1 - 8x^{-3}\right) = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}$
当 $x > 0$ 时，$y'' > 0$，说明 $x = 2$ 是极小值点。
步骤4：计算最小值
将 $x = 2$ 代入原函数：
$y(2) = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + 1 = 3$