设 _(1)=10, _(n+1)=sqrt (6+{a)_(n)} 证明:极限liman存在,并求之.

步骤 1：证明数列单调性
首先，我们证明数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的。我们使用数学归纳法。
- 基础情况：$a_1 = 10$，$a_2 = \sqrt{6 + a_1} = \sqrt{16} = 4$，显然 $a_2 < a_1$。
- 归纳假设：假设 $a_k < a_{k-1}$ 对于某个 $k \geq 2$ 成立。
- 归纳步骤：我们需要证明 $a_{k+1} < a_k$。
- 由于 $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k}$，$a_k = \sqrt{6 + a_{k-1}}$，且 $a_k < a_{k-1}$，则 $6 + a_k < 6 + a_{k-1}$，从而 $\sqrt{6 + a_k} < \sqrt{6 + a_{k-1}}$，即 $a_{k+1} < a_k$。
因此，数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的。

步骤 2：证明数列有下界
我们证明数列 $\{a_n\}$ 有下界。我们猜测下界为 3。
- 假设 $a_n > 3$，则 $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n} > \sqrt{6 + 3} = 3$。
- 因此，数列 $\{a_n\}$ 有下界 3。

步骤 3：求极限
由于数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界，根据单调有界原理，数列 $\{a_n\}$ 收敛。设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则有
\[ L = \sqrt{6 + L} \]
解这个方程，我们得到
\[ L^2 = 6 + L \]
\[ L^2 - L - 6 = 0 \]
\[ (L - 3)(L + 2) = 0 \]
由于 $L > 0$，我们得到 $L = 3$。