18.(17分)已知椭圆C: (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的离心率为(2sqrt(2))/(3)，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=√10.(1)求C的方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3.(Ⅰ)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.

题目考察知识和解题思路

本题主要考察椭圆的方程求解、向量与坐标的关系以及圆与椭圆上点的距离最值问题，具体思路如下：

（1）求椭圆$C$的方程

椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的基本量关系为：
离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$（$c=\sqrt{a^2-b^2}$），下顶点$A(0,-b)$，右顶点$B(a,0)$，$|AB|=\sqrt{10}$。

步骤1：列方程求解$a,b$

• 由$|AB|=\sqrt{(a-0)^2+(0-(-b))^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$，得$a^2+b^2=10$；
• 由$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，得$c=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$，又$c^2=a^2-b^2$，故$\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}a\right)^2=a^2-b^2$，化简得$\frac{8}{9}a^2=a^2-b^2$，即$b^2=\frac{1}{9}a^2$；
• 联立$a^2+b^2=10$和$b^2=\frac{1}{9}a^2$，解得$a^2=9$，$b^2=1$。

结论

椭圆$C$的方程为$\frac{x^2}{9}+y^2=1$。

（2）（Ⅰ）求点$R$的坐标（用$m,n$表示）

已知$P(m,n)$（不在$y$轴上，即$m\neq0$），$R$在射线$AP$上，且$|AP|\cdot|AR|=3$。

步骤1：向量关系转化

• 下顶点$A(0,-1)$，向量$\overrightarrow{AP}=(m,n+1)$，$\overrightarrow{AR}=(x_R,y_R+1)$（$R(x_R,y_R)$）；
• 因$R$在射线$AP$上，故$\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AP}$（$k>0$，射线方向），即$(x_R,y_R+1)=k(m,n+1)$，得$x_R=km$，$y_R+1=k(n+1)$；
• $|AP|=\sqrt{m^2+(n+1)^2}$，$|AR|=k\sqrt{m^2+(n+1)^2}$，由$|AP|\cdot|AR|=3$，得$k(m^2+(n+1)^2)=3$，故$k=\frac{3}{m^2+(n+1)^2}$。

步骤2：代入求$R$坐标

• $x_R=km=\frac{3m}{m^2+(n+1)^2}$；
• $y_R=k(n+1)-1=\frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}-1=\frac{-m^2-n^2+n+2}{m^2+(n+1)^2}$。

结论

$R\left(\frac{3m}{m^2+(n+1)^2},\frac{-m^2-n^2+n+2}{m^2+(n+1)^2}\right)$。

（2）（Ⅱ）求$|PQ|$的最大值

已知$Q$是椭圆$C$上的动点，直线$OR$的斜率是$OP$斜率的3倍，求$|PQ|$最大值。

步骤1：斜率条件转化为$P$的轨迹

• 设$P(m,n)$，则$k_{OP}=\frac{n}{m}$（$m\neq0$），$k_{OR}=\frac{y_R}{x_R}$；
• 由$k_{OR}=3k_{OP}$，代入$x_R,y_R$表达式，化简得$m^2+(n+4)^2=18$（$P$在以$(0,-4)$为圆心、$3\sqrt{2}$为半径的圆上）。

步骤2：$|PQ|$的最大值

• $Q$在椭圆$\frac{x^2}{9}+y^2=1$上，$|PQ|$的最大值为椭圆上点到圆心$(0,-4)$的最大距离加上圆半径；
• 椭圆上点$(x,y)$到$(0,-4)$的距离平方：$x^2+(y+4)^2=9(1-y^2)+(y+4)^2=-8y^2+8y+25$（$y\in[-1,1]$）；
• 二次函数$-8y^2+8y+25$在$y=\frac{1}{2}$时取最大值$2题27$，故最大距离为$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
• $|PQ|_{\text{max}}=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$。