数列：1 3 7 15 31 ?A. 47B. 55C. 63D. 64

本题考查数列规律的寻找，解题思路是通过分析相邻两项的差值或者寻找数列与幂次之间的关系来确定数列的规律，进而求出未知项。

• 方法一：分析相邻两项差值
  • 首先，计算数列中相邻两项的差值：
    • $3 - 1 = 2$；
    • $7 - 3 = 4$；
    • $15 - 7 = 8$；
    • $31 - 15 = 16$。
  • 得到差值构成的新数列为$2, 4, 8, 16$，可以发现这是一个公比为$2$的等比数列，即后一项是前一项的$2$倍。
  • 那么该等比数列的下一项（也就是原数列中$31$与未知项的差值）为$16\times2 = 32$。
  • 所以原数列中问号处的数字为$31 + 32 = 63$。
• 方法二：寻找幂次规律
  • 观察数列各项与幂次的关系：
    • 第$1$项：$1 = 2^1 - 1$；
    • 第$2$项：$3 = 2^2 - 1$；
    • 第$3$项：$7 = 2^3 - 1$；
    • 第$4$项：$15 = 2^4 - 1$；
    • 第$5$项：$31 = 2^5 - 1$。
  • 由此可归纳出该数列的通项公式为$a_n = 2^n - 1$（$n$为项数）。
  • 那么第$6$项（即问号处）的值为$a_6 = 2^6 - 1$，根据指数运算法则$2^6=2\times2\times2\times2\times2\times2 = 64$，所以$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$。