题目
6、填空方程组}x_(1)+2x_(2)+2x_(3)+x_(4)=02x_(1)+x_(2)-2x_(3)-2x_(4)=0x_(1)+x_(2)-4x_(3)-3x_(4)=0的基础解系含有____个解向量.(10分)
6、填空
方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\\x_{1}+x_{2}-4x_{3}-3x_{4}=0\end{cases}$的基础解系含有____个解向量.
(10分)
题目解答
答案
将方程组的系数矩阵 $A$ 化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -2 \\
1 & 1 & -4 & -3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 3$，方程组有4个未知数。根据基础解系的解向量个数公式 $n - r(A)$，得：
\[
n - r(A) = 4 - 3 = 1
\]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
本题考查齐次线性方程组基础解系所含解向量个数的计算，解题的关键在于先将方程组的系数矩阵化为行最简形，从而确定矩阵的秩，再根据基础解系的解向量个数公式进行计算。
- 将系数矩阵化为行最简形：
已知方程组的系数矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}$。- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 - 2\times1 & 1 - 2\times2 & -2 - 2\times2 & -2 - 2\times1 \\ 1 - 1 & 1 - 2 & -4 - 2 & -3 - 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & -1 & -6 & -4 \end{pmatrix}$ - 第三行乘以$-3$加到第二行，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 + (-3)\times0 & -3 + (-3)\times(-1) & -6 + (-3)\times(-6) & -4 + (-3)\times(-4) \\ 0 & -1 & -6 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 12 & 8 \\ 0 & -1 & -6 & -4 \end{pmatrix}$ - 交换第二行和第三行，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 12 & 8 \end{pmatrix}$ - 第二行乘以$-1$，第三行除以$12$，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ - 第二行减去第三行的$6$倍，第一行减去第三行的$2$倍，可得：
$\begin{pmatrix} 1 - 2\times0 & 2 - 2\times0 & 2 - 2\times1 & 1 - 2\times\frac{2}{3} \\ 0 - 6\times0 & 1 - 6\times0 & 6 - 6\times1 & 4 - 6\times\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ - 第一行减去第二行的$2$倍，可得：
$\begin{pmatrix} 1 - 2\times0 & 2 - 2\times1 & 0 - 2\times0 & -\frac{1}{3} - 2\times0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$
- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，可得：
- 确定矩阵的秩：
行最简形矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩，由上述计算可知，矩阵$A$的秩$r(A) = 3$。 - 计算基础解系所含解向量的个数：
对于齐次线性方程组$Ax = 0$，其中$A$为系数矩阵，$n$为未知数的个数，基础解系所含解向量的个数为$n - r(A)$。
已知该方程组有$4$个未知数，即$n = 4$，$r(A) = 3$，则基础解系所含解向量的个数为：
$n - r(A) = 4 - 3 = 1$