[多选题]设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系，T是集合C到D的关系，则下列正确的是？A (R circ S) circ T = R circ (S circ T)B (dom)(R circ S) subseteq (dom)(R)C (ran)(R circ S) subseteq (ran)(S)D R circ S = S circ R

这是一道关于离散数学中关系复合性质的多选题。我们需要逐一分析每个选项的正确性。

已知：

• $R$ 是集合 $A$ 到 $B$ 的关系，即 $R \subseteq A \times B$。
• $S$ 是集合 $B$ 到 $C$ 的关系，即 $S \subseteq B \times C$。
• $T$ 是集合 $C$ 到 $D$ 的关系，即 $T \subseteq C \times D$。

关系的复合（记作 $\circ$）定义为：如果 $(x, y) \in R$ 且 $(y, z) \in S$，则 $(x, z) \in R \circ S$。

分析选项 A：$(R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T)$
这是关系复合的结合律。

• 对于 $(R \circ S) \circ T$，元素 $(a, d)$ 属于该关系，当且仅当存在 $c \in C$，使得 $(a, c) \in R \circ S$ 且 $(c, d) \in T$。而 $(a, c) \in R \circ S$ 意味着存在 $b \in B$，使得 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in S$。综合起来，存在 $b \in B$ 和 $c \in C$，使得 $(a, b) \in R$，$(b, c) \in S$，$(c, d) \in T$。
• 对于 $R \circ (S \circ T)$，元素 $(a, d)$ 属于该关系，当且仅当存在 $b \in B$，使得 $(a, b) \in R$ 且 $(b, d) \in S \circ T$。而 $(b, d) \in S \circ T$ 意味着存在 $c \in C$，使得 $(b, c) \in S$ 且 $(c, d) \in T$。综合起来，同样存在 $b \in B$ 和 $c \in C$，使得 $(a, b) \in R$，$(b, c) \in S$，$(c, d) \in T$。
  两者的定义条件完全等价，因此关系复合满足结合律。
  所以，选项 A 正确。

分析选项 B：$\text{dom}(R \circ S) \subseteq \text{dom}(R)$

• $\text{dom}(R \circ S)$ 是复合关系 $R \circ S$ 的定义域，即所有满足存在 $c \in C$ 使得 $(a, c) \in R \circ S$ 的 $a \in A$ 的集合。
• 如果 $a \in \text{dom}(R \circ S)$，则存在 $c \in C$ 使得 $(a, c) \in R \circ S$。根据复合关系的定义，这意味着存在 $b \in B$，使得 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in S$。
• 既然存在 $b \in B$ 使得 $(a, b) \in R$，那么 $a$ 必然属于 $R$ 的定义域，即 $a \in \text{dom}(R)$。
• 因此，$\text{dom}(R \circ S) \subseteq \text{dom}(R)$ 成立。
  所以，选项 B 正确。

分析选项 C：$\text{ran}(R \circ S) \subseteq \text{ran}(S)$

• $\text{ran}(R \circ S)$ 是复合关系 $R \circ S$ 的值域（陪域），即所有满足存在 $a \in A$ 使得 $(a, c) \in R \circ S$ 的 $c \in C$ 的集合。
• 如果 $c \in \text{ran}(R \circ S)$，则存在 $a \in A$ 使得 $(a, c) \in R \circ S$。根据复合关系的定义，这意味着存在 $b \in B$，使得 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in S$。
• 既然存在 $b \in B$ 使得 $(b, c) \in S$，那么 $c$ 必然属于 $S$ 的值域，即 $c \in \text{ran}(S)$。
• 因此，$\text{ran}(R \circ S) \subseteq \text{ran}(S)$ 成立。
  所以，选项 C 正确。

分析选项 D：$R \circ S = S \circ R$

• 已知 $R$ 是 $A$ 到 $B$ 的关系，$S$ 是 $B$ 到 $C$ 的关系。
• $R \circ S$ 是 $A$ 到 $C$ 的关系。
• 而 $S \circ R$ 要求 $S$ 的陪域与 $R$ 的定义域相匹配，即 $S$ 必须是 $A$ 到某集合的关系，$R$ 必须是某集合到 $B$ 的关系。在题目给定的条件下（$R: A \to B$, $S: B \to C$），$S \circ R$ 通常是没有定义的（除非 $A=C$ 且集合满足特定条件）。即使 $A=C$ 使得 $S \circ R$ 有意义，关系复合一般也不满足交换律。
  所以，选项 D 错误。

综上所述，正确的选项是 A、B、C。

正确答案：A, B, C