题目
3.(2017新乐市校级月考)求曲线 =dfrac (1)(x) 与直线 y=x x=2 所围成的图形面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
曲线 $y=\dfrac {1}{x}$ 和直线 $y=x$ 在第一象限的交点为 A(1,1)。这是因为当 $y=x$ 时，代入 $y=\dfrac {1}{x}$ 得到 $x=\dfrac {1}{x}$，解得 $x=1$，从而 $y=1$。
步骤 2：确定积分区间
直线 $y=x$ 和 $x=2$ 的交点为 B(2,2)。因此，所求面积的积分区间为 $[1,2]$。
步骤 3：计算面积
所求面积为曲线 $y=\dfrac {1}{x}$ 和直线 $y=x$ 在区间 $[1,2]$ 上的积分之差，即 $S={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx$。
步骤 4：计算积分
$S={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx=(\dfrac {1}{2}{x}^{2}-\ln x)_{1}^{2}=(\dfrac {1}{2}\times {2}^{2}-\ln 2)-(\dfrac {1}{2}\times {1}^{2}-\ln 1)=\dfrac {3}{2}-\ln 2$。
曲线 $y=\dfrac {1}{x}$ 和直线 $y=x$ 在第一象限的交点为 A(1,1)。这是因为当 $y=x$ 时，代入 $y=\dfrac {1}{x}$ 得到 $x=\dfrac {1}{x}$，解得 $x=1$，从而 $y=1$。
步骤 2：确定积分区间
直线 $y=x$ 和 $x=2$ 的交点为 B(2,2)。因此，所求面积的积分区间为 $[1,2]$。
步骤 3：计算面积
所求面积为曲线 $y=\dfrac {1}{x}$ 和直线 $y=x$ 在区间 $[1,2]$ 上的积分之差，即 $S={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx$。
步骤 4：计算积分
$S={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx=(\dfrac {1}{2}{x}^{2}-\ln x)_{1}^{2}=(\dfrac {1}{2}\times {2}^{2}-\ln 2)-(\dfrac {1}{2}\times {1}^{2}-\ln 1)=\dfrac {3}{2}-\ln 2$。