如果 D 是圆环域 1 leq x^2 + y^2 leq 9，那么 iint_(D) mathrm(d)sigma=(）。A. 16piB. 8piC. 6piD. 4pi

本题考查二重积分的几何意义以及圆的面积公式。解题思路是根据二重积分的几何意义，判断出$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma$表示的是区域$D$的面积，然后通过计算圆环域$D$的面积得出结果。

步骤一：明确二重积分的几何意义

对于二重积分$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma$，其中$\mathrm{d}\sigma$表示面积元素，根据二重积分的几何意义，当被积函数$f(x,y)=1$时，$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma$的值等于积分区域$D$的面积$S_D$，即$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma = S_D$。

步骤二：确定圆环域$D$的面积计算方法

已知圆环域$D$为$1 \leq x^2 + y^2 \leq 9$，$x^2 + y^2 = r^2$（$r$为圆的半径），所以该圆环域是由半径$r_1 = 1$的圆和半径$r_2 = 3$的圆所围成的区域。
圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，圆的面积公式为$S = \pi r^2$。

步骤三：计算圆环域$D$的面积

外圆面积$S_2=\pi r_2^2=\pi\times3^2 = 9\pi$；
内圆面积$S_1=\pi r_1^2=\pi\times1^2 = \pi$。
则圆环域$D$的面积$S_D = S_2 - S_1 = 9\pi - \pi = 8\pi$。

步骤四：得出二重积分的值

因为$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma = S_D$，所以$\iint_{D} \mathrm{d}\sigma = 8\pi$。