(10)曲线 =xln (e+dfrac (1)(x))(xgt 0) 的渐近线方程为. __

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解方法，特别是斜渐近线的计算。需要掌握极限的计算以及泰勒展开或等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 判断渐近线类型：当x趋向于无穷大时，若函数增长趋近于一次函数，则存在斜渐近线。
2. 求斜率a：计算极限$a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$。
3. 求截距b：计算极限$b = \lim_{x \to \infty} (y - a x)$。
4. 验证其他渐近线：检查x趋向于边界值时是否存在垂直渐近线。

破题关键点：

• 对数函数展开：将$\ln(e + \frac{1}{x})$展开为$1 + \frac{1}{e x} + \cdots$，简化极限计算。
• 等价无穷小替换：利用$\ln(1 + h) \approx h$（当$h \to 0$时）简化表达式。

步骤1：求斜渐近线的斜率a
计算极限：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln\left(e + \frac{1}{x}\right) = \ln e = 1.$

步骤2：求斜渐近线的截距b
计算极限：
$b = \lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(e + \frac{1}{x}\right) - x \right].$
令$h = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$h \to 0$，则：
$\begin{aligned}b &= \lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - \ln e}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{e}\right)}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{e}}{h} \quad (\text{等价无穷小替换}) \\&= \frac{1}{e}.\end{aligned}$

步骤3：验证垂直渐近线
当$x \to 0^+$时，$\ln(e + \frac{1}{x}) \approx \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x$，此时：
$y = x \cdot (-\ln x) \to 0 \quad (\text{因$x \to 0$，而$-\ln x \to \infty$，但乘积趋向于0}).$
因此，无垂直渐近线。