设总体 X sim N(mu, 4)，mu 为未知，X_1, X_2 ldots X_(100) 为来自总体的样本，对给定的 alpha = 0.1，参数 mu 的置信度为 0.9 的置信区间 (bar(X) - lambda (2)/(10), bar(X) + lambda (2)/(10))，则 lambda = ( ).(2分)A. t_(0.95)B. u_(0.95)C. t_(0.05)D. u_(0.05)

本题考查正态总体均值的置信区间以及标准正态分布分位数的概念。解题的关键在于明确总体方差已知时，应使用标准正态分布来构造置信区间，然后根据置信度与分位数的关系求出$\lambda$的值。

1. 已知总体$X \sim N(\mu, 4)$，即总体服从均值为$\mu$，方差为$\sigma^2 = 4$的正态分布，且样本容量$n = 100$。
   • 根据正态分布的性质，样本均值$\bar{X}$服从正态分布$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
   • 将$\sigma^2 = 4$，$n = 100$代入可得$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{4}{100})$，即$\bar{X} \sim N(\mu, 0.04)$。
2. 对$\bar{X}$进行标准化处理：
   • 令$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\sigma = \sqrt{4}=2$，$n = 100$，则$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{2/10}\sim N(0,1)$。
3. 已知置信度为$0.9$，即$1 - \alpha = 0.9$，可得$\alpha = 0.1$。
   • 对于标准正态分布$N(0,1)$，我们要找到分位数$u_{\alpha/2}$和$u_{1 - \alpha/2}$，使得$P\{u_{\alpha/2}<\frac{\bar{X}-\mu}{2/10}<u_{1 - \alpha/2}\}=0.9$。
   • 这里$\alpha/2 = 0.1/2 = 0.05$，$1 - \alpha/2 = 0.95$。
   • 由$P\{u_{0.05}<\frac{\bar{X}-\mu}{2/10}<u_{0.95}\}=0.9$，根据标准正态分布的对称性$u_{0.95}=-u_{0.05}$，不等式可化为$P\{-\ u_{0.05}<\frac{\bar{X}-\mu}{2/10}<u_{0.05}\}=0.9$。
   • 对不等式进行变形：
     • 由$-u_{0.05}<\frac{\bar{X}-\mu}{2/10}<u_{0.05}$，不等式两边同时乘以$\frac{2}{10}$得到$-u_{0.05}\times\frac{2}{10}<\bar{X}-\mu<u_{0.05}\times\frac{2}{10}$。
     • 再将不等式进行移项可得$\bar{X}-u_{0.05}\times\frac{2}{10}<\mu<\bar{X}+u_{0.05}\times\frac{2}{10}$。
   • 已知参数$\mu$的置信度为$0.9$的置信区间为$(\bar{X} - \lambda \frac{2}{10}, \bar{X} + \lambda \frac{2}{10})$，对比可得$\lambda = u_{0.05}$。