题目

单选题（共30题，100.0分）11.（3.3分）一级反应aA→P的速率系数为k_(A)，则A反应掉(1)/(n)的时间等于（）。A (1)/(k_(A))ln(1-(1)/(n));B (1)/(k_(A))ln(1+(1)/(n))C -(1)/(k_(A))ln(1-(1)/(n));

单选题（共30题，100.0分） 11.（3.3分）一级反应aA→P的速率系数为$k_{A}$，则A反应掉$\frac{1}{n}$的时间等于（）。 A $\frac{1}{k_{A}}ln(1-\frac{1}{n})$; B $\frac{1}{k_{A}}ln(1+\frac{1}{n})$ C $-\frac{1}{k_{A}}ln(1-\frac{1}{n})$;

题目解答

答案

根据一级反应速率方程： \[ \ln \left( \frac{[A]_0}{[A]} \right) = k_A t \] 当 $ [A] = [A]_0 (1 - \frac{1}{n}) $ 时，有： \[ \ln \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \right) = k_A t \] 化简得： \[ t = -\frac{1}{k_A} \ln \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \] 因此，正确答案为： \[ t = -\frac{1}{k_A} \ln \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \] 答案：C. $ -\frac{1}{k_A} \ln \left( 1 - \frac{1}{n} \right) $

解析

本题考查一级反应的动力学方程及应用。解题思路是先明确一级反应的速率方程，再根据题目所给条件，即A反应掉$\frac{1}{n}$，确定反应前后A的浓度关系，最后将浓度关系代入一级反应速率方程，求解出反应时间$t$。

步骤一：明确一级反应速率方程

对于一级反应$aA \to P$，其速率方程的积分形式为$\ln \left( \frac{[A]_0}{[A]} \right) = k_A t$，其中$[A]_0$是反应物$A$的初始浓度，$[A]$是反应进行到$t$时刻时反应物$A$的浓度，$k_A$是反应速率系数，$t$是反应时间。

步骤二：确定反应掉$\frac{1}{n}$时$A$的浓度

已知$A$反应掉$\frac{1}{n}$，那么剩余$A$的浓度$[A]$为初始浓度$[A]_0$的$(1 - \frac{1}{n})$倍，即$[A] = [A]_0 (1 - \frac{1}{n})$。

步骤三：将浓度关系代入一级反应速率方程求解$t$

把$[A] = [A]_0 (1 - \frac{1}{n})$代入$\ln \left( \frac{[A]_0}{[A]} \right) = k_A t$中，可得：
$\ln \left( \frac{[A]_0}{[A]_0 (1 - \frac{1}{n})} \right) = k_A t$
因为$[A]_0$不为$0$，分子分母的$[A]_0$可以约掉，得到$\ln \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \right) = k_A t$。
根据对数运算法则$\ln\frac{1}{x}=-\ln x$，对$\ln \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \right)$进行化简，可得$-\ln(1 - \frac{1}{n})$，则方程变为$-\ln(1 - \frac{1}{n}) = k_A t$。
最后求解$t$，将方程两边同时除以$k_A$，得到$t = -\frac{1}{k_A} \ln \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$。