题目
7.设数列通项x_(n)=}(2^n+sqrt(n))/(n),&n为正奇数,ln n)/(n),&n为正偶数,是()A. 无穷大量.B. 无穷小量.C. 无界但非无穷大量.D. 有界但非无穷小量.
7.设数列通项$x_{n}=\begin{cases}\frac{2^{n}+\sqrt{n}}{n},&n为正奇数,\\\frac{\ln n}{n},&n为正偶数,\end{cases}$则当n→∞时,$x_{n}$是()
A. 无穷大量.
B. 无穷小量.
C. 无界但非无穷大量.
D. 有界但非无穷小量.
题目解答
答案
C. 无界但非无穷大量.
解析
本题考查数列极限的相关知识,解题的关键在于分别分析数列在$n$为正奇数和正偶数时的极限情况,再根据无穷大量、无穷小量、有界和无界的定义来判断数列$x_n$的性质。
- 分析$n$为正奇数时$x_n$的极限:
当$n$为正奇数时,$x_{n}=\frac{2^{n}+\sqrt{n}}{n}$,将其拆分为两项之和,即$x_{n}=\frac{2^{n}}{n}+\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{2^{n}}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}$。- 对于$\frac{2^{n}}{n}$,当$n\to\infty$时,指数函数$2^n$的增长速度远远快于一次函数$n$,所以$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n} = \infty$。
- 对于$\frac{1}{\sqrt{n}}$,当$n\to\infty$时,$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$。
- 根据极限的加法法则$\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n$,可得$\lim_{n \to \infty}x_{n}=\lim_{n \to \infty}(\frac{2^{n}}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}})=\lim_{n \to \infty}\frac{2^{n}}{n}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\infty + 0 = \infty$。
- 分析$n$为正偶数时$x_n$的极限:
当$n$为正偶数时,$x_{n}=\frac{\ln n}{n}$,这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型的极限,可使用洛必达法则。
洛必达法则是指在一定条件下,函数$\frac{f(n)}{g(n)}$在某一过程中的极限等于$\frac{f^\prime(n)}{g^\prime(n)}$在同一过程中的极限。
对$f(n)=\ln n$求导,根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$,可得$f^\prime(n)=\frac{1}{n}$;对$g(n)=n$求导,可得$g^\prime(n)=1$。
所以$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$。 - 判断数列$x_n$的性质:
- 判断是否为无穷大量:无穷大量是指当$n\to\infty$时,$\vert x_n\vert$无限增大。但由前面的分析可知,当$n$为正偶数时,$x_n\to 0$,不满足无穷大量的定义,所以$x_n$不是无穷大量。
- 判断是否为无穷小量:无穷小量是指当$n\to\infty$时,$x_n\to 0$。但当$n$为正奇数时,$x_n\to\infty$,不满足无穷小量的定义,所以$x_n$不是无穷小量。
- 判断是否有界:有界是指存在正数$M$,使得对于任意的$n$,都有$\vert x_n\vert\leq M$。由于当$n$为正奇数时,$x_n\to\infty$,不存在这样的正数$M$,所以$x_n$无界。
综上,$x_n$无界但非无穷大量。