题目
19.关于函数y=(x)/(x+1)，下列说法正确的是（ ）B.在(-∞,+∞)上单调递增C.在(-∞,+∞)上单调递减D.在(-∞,-1)，(-1,+∞)上单调递增E.在(-∞,-1)上单调递增，(-1,+∞)上单调递减
19.关于函数$y=\frac{x}{x+1}$，下列说法正确的是（ ）
B.在(-∞,+∞)上单调递增
C.在(-∞,+∞)上单调递减
D.在(-∞,-1)，(-1,+∞)上单调递增
E.在(-∞,-1)上单调递增，(-1,+∞)上单调递减
题目解答
答案
函数 $ y = \frac{x}{x+1} $ 的定义域为 $ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) $。求导得：
$y' = \frac{1}{(x+1)^2} > 0 \quad (x \neq -1)$
导数恒正，表明函数在定义域的每个区间内单调递增。
选项分析：
- A、B：函数在 $ x = -1 $ 处无定义，无法在 $(-\infty, +\infty)$ 上单调递增，排除。
- C：函数在定义域内递增，排除。
- D：函数在 $(-\infty, -1)$ 和 $(-1, +\infty)$ 上均递增，正确。
- E：函数在 $(-1, +\infty)$ 上递增，排除。
答案： $\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查分式函数的单调性判断，涉及定义域的确定和导数法判断单调性。
解题思路：
- 确定定义域：分母不能为零，排除$x=-1$，定义域分为$(-\infty, -1)$和$(-1, +\infty)$。
- 求导分析单调性：通过求导判断导数的符号。若导数恒正，则函数在定义域的每个区间内单调递增。
关键点：
- 定义域分割导致函数在两个区间内独立分析单调性。
- 导数恒正是判断单调递增的核心依据。
步骤1：确定定义域
函数$y = \frac{x}{x+1}$的分母$x+1 \neq 0$，即$x \neq -1$，因此定义域为：
$(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty).$
步骤2：求导数
对函数求导：
$y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}.$
步骤3：分析导数符号
由于$(x+1)^2 > 0$对所有$x \neq -1$成立，因此$y' > 0$。
结论：函数在定义域的每个区间$(-\infty, -1)$和$(-1, +\infty)$内均单调递增。
步骤4：选项分析
- 选项B、C错误：函数在$x=-1$处无定义，无法在整个实数范围讨论单调性。
- 选项D正确：函数在两个区间内均递增。
- 选项E错误：在$(-1, +\infty)$上函数实际递增而非递减。