13.(填空题，5.9分)设随机变量X~E(λ),且P(X>2)=e^-4,求λ的值____。

本题考查指数分布的概率计算。解题思路是先明确指数分布的概率性质，再根据已知条件建立等式，最后求解出参数$\lambda$的值。

1. 已知随机变量$X\sim E(\lambda)$，对于指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x \gt 0\\0,&x\leqslant0\end{cases}$。
   • 根据指数分布的性质，$P(X \gt x)=e^{-\lambda x}$（$x \gt 0$），这是指数分布的一个重要性质，可以通过对概率密度函数在区间$(x,+\infty)$上积分得到：
     • $P(X \gt x)=\int_{x}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt$，令$u =-\lambda t$，则$du=-\lambda dt$。
     • 当$t = x$时，$u=-\lambda x$；当$t\rightarrow+\infty$时，$u\rightarrow-\infty$。
     • 那么$\int_{x}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=-\int_{-\lambda x}^{-\infty}e^{u}du=\int_{-\infty}^{-\lambda x}e^{u}du$。
     • 根据指数函数积分公式$\int e^{u}du = e^{u}+C$，可得$\int_{-\infty}^{-\lambda x}e^{u}du=e^{-\lambda x}$。
2. 已知$P(X \gt 2)=e^{-4}$，由上述指数分布性质$P(X \gt x)=e^{-\lambda x}$，当$x = 2$时，有$P(X \gt 2)=e^{-2\lambda}$。
   • 所以$e^{-2\lambda}=e^{-4}$。
3. 因为指数函数$y = e^{x}$是单调递增函数，若$e^{a}=e^{b}$，则$a = b$。
   • 对于$e^{-2\lambda}=e^{-4}$，可得$-2\lambda=-4$。
   • 两边同时除以$-2$，解得$\lambda = 2$。