int_(0)^pi^2 sqrt(x) cos sqrt(x) dx = ().A. -4piB. -3piC. -2piD. -pi

本题考查定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后利用分部积分法进行计算。

1. 换元：
   令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2tdt$。
   当$x = 0$时，$t = \sqrt{0} = 0$；当$x = \pi^2$时，$t = \sqrt{\pi^2} = \pi$。
   那么原积分$\int_{0}^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} dx$就变为$\int_{0}^{\pi} t \cos t \cdot 2tdt = 2\int_{0}^{\pi} t^2 \cos t dt$。
2. 使用分部积分法：
   分部积分公式为$\int_{a}^{b} u dv = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v du$。
   令$u = t^2$，$dv = \cos t dt$。
   对$u$求导：$du = 2t dt$。
   对$dv$积分：$v = \int \cos t dt = \sin t$。
   根据分部积分公式可得：
   $2\int_{0}^{\pi} t^2 \cos t dt = 2\left[t^2 \sin t|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin t \cdot 2t dt\right]$
3. 计算$t^2 \sin t|_{0}^{\pi}$：
   将$\pi$和$0$代入$t^2 \sin t$可得：
   $\pi^2 \sin \pi - 0^2 \sin 0 = 0 - 0 = 0$
   所以$2\left[t^2 \sin t|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin t \cdot 2t dt\right] = 2\left[0 - 2\int_{0}^{\pi} t \sin t dt\right]= -4\int_{0}^{\pi} t \sin t dt$。
4. 再次使用分部积分法：
   令$u = t$，$dv = \sin t dt$。
   对$u$求导：$du = dt$。
   对$dv$积分：$v = \int \sin t dt = -\cos t$。
   根据分部积分公式可得：
   $-4\int_{0}^{\pi} t \sin t dt = -4\left[-t \cos t|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt\right]$
5. 计算$-t \cos t|_{0}^{\pi}$：
   将$\pi$和$0$代入$-t \cos t$可得：
   $-\pi \cos \pi - (-0 \cos 0) = - \pi\times (-1) - 0 = \pi$
6. 计算$\int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt$：
   $\int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt = -\int_{0}^{\pi} \cos t dt = -(\sin t|_{0}^{\pi}) = -(\sin \pi - \sin 0) = 0$
7. 计算最终结果：
   将上述结果代入$-4\left[-t \cos t|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt\right]$可得：
   $-4(\pi - 0) = -4\pi$