题目
设区域D：-1≤x≤1,1≤y≤2,则∫∫(x3y2-xcosy)dσ=什么.
设区域D：-1≤x≤1,1≤y≤2,则∫∫(x3y2-xcosy)dσ=什么.
题目解答
答案
画出D区域的图像,易得,关于X的积分区间是对称的,因此先对x积分
易得,原式关于X是奇函数
因此积分结果为0
再对Y积分,由于先对X积分为0了,所以结果为0.
(ps：当遇到积分区间时,平行于A轴就先对A积分,如果遇到对称区间的,先对对称的那个变量积分,如果积分区间是个矩形的话,可以将函数中的X、y分别分开求X、y的积分.)
易得,原式关于X是奇函数
因此积分结果为0
再对Y积分,由于先对X积分为0了,所以结果为0.
(ps：当遇到积分区间时,平行于A轴就先对A积分,如果遇到对称区间的,先对对称的那个变量积分,如果积分区间是个矩形的话,可以将函数中的X、y分别分开求X、y的积分.)
解析
步骤 1：确定积分区域
区域D由-1≤x≤1和1≤y≤2定义，是一个矩形区域。
步骤 2：分析被积函数
被积函数为f(x,y) = x^{3}y^{2} - xcosy。注意到x^{3}和xcosy都是关于x的奇函数。
步骤 3：利用奇函数的性质
由于积分区域关于x轴对称，且被积函数中x^{3}和xcosy都是关于x的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分性质，这两个部分的积分结果均为0。
步骤 4：计算积分
由于被积函数的两个部分在对称区间上的积分均为0，因此整个二重积分的结果为0。
区域D由-1≤x≤1和1≤y≤2定义，是一个矩形区域。
步骤 2：分析被积函数
被积函数为f(x,y) = x^{3}y^{2} - xcosy。注意到x^{3}和xcosy都是关于x的奇函数。
步骤 3：利用奇函数的性质
由于积分区域关于x轴对称，且被积函数中x^{3}和xcosy都是关于x的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分性质，这两个部分的积分结果均为0。
步骤 4：计算积分
由于被积函数的两个部分在对称区间上的积分均为0，因此整个二重积分的结果为0。