lim_(x to +infty) ((1+frac(1)/(x))^x^2)(e^x)
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$
题目解答
答案
我们要计算的极限是：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$
第一步：理解表达式结构
我们观察分子是：
$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$
这个表达式和著名的极限形式：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
有关，但这里是 $(1 + \frac{1}{x})^{x^2}$，指数是 $x^2$，所以我们可以尝试用自然对数进行处理。
第二步：取自然对数简化
设：
$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$
取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - x \right]$
第三步：泰勒展开近似
我们使用泰勒展开来近似 $\ln(1 + \frac{1}{x})$，当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，所以：
$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$
代入：
$x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \cdots$
所以：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left( x - \frac{1}{2} + \cdots - x \right) = -\frac{1}{2}$
第四步：还原原极限
因为 $\ln L = -\frac{1}{2}$，所以：
$L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
✅ 最终答案：
$\boxed{\frac{1}{\sqrt{e}}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与自然对数的结合运用。关键在于处理形如$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$的表达式，并将其与$e^x$进行比较。
解题核心思路：
- 利用自然对数简化指数运算，将原式转化为对数形式，便于展开和化简。
- 泰勒展开近似处理$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$，提取主部项，忽略高阶无穷小。
- 还原指数，通过计算对数后的极限结果，得到原式的最终值。
破题关键点：
- 识别$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$与$e^x$的关联，通过展开对数后对比主部项的差异。
步骤1：取自然对数简化表达式
设原式极限为$L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - x \right]$
步骤2：泰勒展开近似
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，对$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$展开：
$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$
代入后得：
$x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \cdots$
步骤3：计算对数后的极限
将展开结果代入$\ln L$：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left( x - \frac{1}{2} + \cdots - x \right) = -\frac{1}{2}$
步骤4：还原指数求原极限
由$\ln L = -\frac{1}{2}$得：
$L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$