题目

12.(填空题，5.8分)设随机变量X~π(λ)，且P(X≤1)+e^-λ=2P(X=2)，求λ的值____。

12.(填空题，5.8分) 设随机变量X~π(λ)，且P(X≤1)+$e^{-λ}$=2P(X=2)，求λ的值____。

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $X \sim \pi(\lambda)$。根据泊松分布的概率质量函数，有：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
题目条件为 $P(X \leq 1) + e^{-\lambda} = 2P(X = 2)$。代入概率公式得：
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = e^{-\lambda}(1 + \lambda)$
$P(X = 2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
代入条件方程：
$e^{-\lambda}(1 + \lambda) + e^{-\lambda} = 2 \cdot \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
化简得：
$e^{-\lambda}(2 + \lambda) = \lambda^2 e^{-\lambda}$
两边除以 $e^{-\lambda}$（非零）：
$2 + \lambda = \lambda^2$
解二次方程：
$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$
由于 $\lambda > 0$，得 $\lambda = 2$。

答案： $\boxed{2}$

解析

本题考查泊松分布的概率质量函数以及方程求解。解题思路如下：

  1. 首先明确泊松分布的概率质量函数公式：若随机变量$X\sim\pi(\lambda)$，则$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0,1,2,\cdots$。
  2. 然后根据概率的性质计算$P(X\leq1)$，因为$P(X\leq1)=P(X = 0)+P(X = 1)$，将$k = 0$和$k = 1$代入概率质量函数可得：
    • $P(X = 0)=\frac{\lambda^{0}e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}$（根据$0!=1$，$\lambda^{0}=1$）。
    • $P(X = 1)=\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\lambda e^{-\lambda}$（根据$1!=1$）。
    • 所以$P(X\leq1)=e^{-\lambda}+\lambda e^{-\lambda}=e^{-\lambda}(1 + \lambda)$。
  3. 接着计算$P(X = 2)$，将$k = 2$代入概率质量函数$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，可得$P(X = 2)=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2}$。
  4. 再将$P(X\leq1)$和$P(X = 2)$代入已知条件$P(X\leq1)+e^{-\lambda}=2P(X = 2)$中，得到方程$e^{-\lambda}(1 + \lambda)+e^{-\lambda}=2\times\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2}$。
  5. 对上述方程进行化简：
    • 方程左边$e^{-\lambda}(1 + \lambda)+e^{-\lambda}=e^{-\lambda}(1+\lambda + 1)=e^{-\lambda}(\lambda + 2)$。
    • 方程右边$2\times\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2}=\lambda^{2}e^{-\lambda}$。
    • 此时方程变为$e^{-\lambda}(\lambda + 2)=\lambda^{2}e^{-\lambda}$。
    • 因为$e^{-\lambda}\gt0$，方程两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到$\lambda + 2=\lambda^{2}$。
  6. 最后求解关于$\lambda$的一元二次方程$\lambda^{2}-\lambda - 2 = 0$，根据十字相乘法可得$(\lambda - 2)(\lambda+1)=0$，则$\lambda - 2 = 0$或$\lambda + 1 = 0$，解得$\lambda = 2$或$\lambda=-1$。
    • 由于泊松分布的参数$\lambda\gt0$，所以舍去$\lambda=-1$，得到$\lambda = 2$。