以 vec a=2,-1,1 和 vec b=1,2,-3 为边的平行四边形的面积等于( ).A. 2sqrt(3)B. 5sqrt(3)C. sqrt(3)D. 3sqrt(3)

本题考查向量的叉积以及利用向量叉积求平行四边形的面积。解题思路是先根据向量叉积的运算规则求出以$\vec{a}$和$\vec{b}$为邻边的向量叉积$\vec{a}\times\vec{b}$，再根据向量的模的计算公式求出$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert$，而$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert$的值就是以$\vec{a}$和$\vec{b}$为边的平行四边形的面积。

已知$\vec{a}=\{2,-1,1\}$，$\vec{b}=\{1,2,-3\}$。

1. 计算向量叉积$\vec{a}\times\vec{b}$：
   对于三维向量$\vec{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$，$\vec{b}=\{b_1,b_2,b_3\}$，它们的叉积\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\)，其中$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$分别是$x$，$y$，$z$轴正方向的单位向量。
   将$\vec{a}=\{2,-1,1\}$，$\vec{b}=\{1,2,-3\}$代入可得：
   \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}\)
   根据三阶行列式的展开法则\(\begin{vmatrix} A & B & C\\ D & E & F\\ G & H & I \end{vmatrix}=A\begin{vmatrix} E & F\\ H & I \end{vmatrix}-B\begin{vmatrix} D & F\\ G & I \end{vmatrix}+C\begin{vmatrix} D & E\\ G & H \end{vmatrix}\)，则有：
   \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{i}\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\)
   分别计算二阶行列式：
   \(\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}=(-1)\times(-3)-1\times2 = 3 - 2 = 1\)；
   \(\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}=2\times(-3)-1\times1 = -6 - 1 = -7\)；
   \(\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=2\times2 - (-1)\times1 = 4 + 1 = 5\)。
   所以$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{i}\times1 - \vec{j}\times(-7) + \vec{k}\times5 = \{1,7,5\}$。
2. 计算$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert$：
   对于向量$\vec{m}=\{x,y,z\}$，其模$\vert\vec{m}\vert=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
   则$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\sqrt{1^2 + 7^2 + 5^2}=\sqrt{1 + 49 + 25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。