题目
17.设A= 1 4 2 0 () -3 4 0 4 3 求A^100
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩阵A的特征值
计算矩阵A的特征多项式，即求解 $|A-\lambda E|=0$，其中E是单位矩阵。对于矩阵A，我们有：
$$
|A-\lambda E| = \left |\begin{matrix} 1-\lambda & 4& 2\\ 0& -3-\lambda & 4\\ 0& 4& 3-\lambda \end{matrix} \right | = -(λ-1)(λ-5)(λ+5)
$$
因此，矩阵A的特征值为 ${\lambda }_{1}=1$，${\lambda }_{2}=5$，${\lambda }_{3}=-5$。
步骤 2：求矩阵A的特征向量
对于每个特征值，求解 $(A-\lambda E)X=0$，得到对应的特征向量。
- 对应 ${\lambda }_{1}=1$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{1}={(1,0,0)}^{T}$。
- 对应 ${\lambda }_{2}=5$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{2}={(2,1,2)}^{T}$。
- 对应 ${\lambda }_{3}=-5$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{3}={(1,-2,1)}^{T}$。
步骤 3：构造矩阵P和P的逆矩阵
令 $P=(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，则求得 $P^{-1} = \frac{1}{5} \left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：计算 ${A}^{100}$
由于 $A = PDP^{-1}$，其中D是对角矩阵，其对角线元素为A的特征值，即 $D = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& -5\end{matrix} ) \right.$，则有：
$$
{A}^{100} = P{D}^{100}P^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 1^{100}& 0& 0\\ 0& 5^{100}& 0\\ 0& 0& (-5)^{100}\end{matrix} ) \right. \frac{1}{5} \left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.
$$
计算得：
$$
{A}^{100} = \left (\begin{matrix} 1& 0& {5}^{100}-1\\ 0& {5}^{100}& 0\\ 0& 0& {5}^{100}\end{matrix} ) \right.
$$
计算矩阵A的特征多项式，即求解 $|A-\lambda E|=0$，其中E是单位矩阵。对于矩阵A，我们有：
$$
|A-\lambda E| = \left |\begin{matrix} 1-\lambda & 4& 2\\ 0& -3-\lambda & 4\\ 0& 4& 3-\lambda \end{matrix} \right | = -(λ-1)(λ-5)(λ+5)
$$
因此，矩阵A的特征值为 ${\lambda }_{1}=1$，${\lambda }_{2}=5$，${\lambda }_{3}=-5$。
步骤 2：求矩阵A的特征向量
对于每个特征值，求解 $(A-\lambda E)X=0$，得到对应的特征向量。
- 对应 ${\lambda }_{1}=1$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{1}={(1,0,0)}^{T}$。
- 对应 ${\lambda }_{2}=5$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{2}={(2,1,2)}^{T}$。
- 对应 ${\lambda }_{3}=-5$，解方程 $(A-\lambda E)X=0$，得基础解系为 ${\xi }_{3}={(1,-2,1)}^{T}$。
步骤 3：构造矩阵P和P的逆矩阵
令 $P=(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，则求得 $P^{-1} = \frac{1}{5} \left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：计算 ${A}^{100}$
由于 $A = PDP^{-1}$，其中D是对角矩阵，其对角线元素为A的特征值，即 $D = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& -5\end{matrix} ) \right.$，则有：
$$
{A}^{100} = P{D}^{100}P^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 1^{100}& 0& 0\\ 0& 5^{100}& 0\\ 0& 0& (-5)^{100}\end{matrix} ) \right. \frac{1}{5} \left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.
$$
计算得：
$$
{A}^{100} = \left (\begin{matrix} 1& 0& {5}^{100}-1\\ 0& {5}^{100}& 0\\ 0& 0& {5}^{100}\end{matrix} ) \right.
$$