题目

设随机变量 X sim U(0, 2pi)，则 E(2sin X) = ________。

设随机变量 $X \sim U(0, 2\pi)$，则 $E(2\sin X) = \_\_\_\_\_\_\_\_$。

题目解答

答案

随机变量 $X \sim U(0, 2\pi)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{2\pi}$（$0 < x < 2\pi$），其余为0。 求 $E(2\sin X)$： \[ E(2\sin X) = \int_{0}^{2\pi} 2\sin x \cdot \frac{1}{2\pi} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin x \, dx \] 计算积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0 \] 因此，$E(2\sin X) = \frac{1}{\pi} \times 0 = 0$。 答案：$\boxed{0}$

解析

本题考查均匀分布的概率密度函数以及随机变量函数的数学期望的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确随机变量$X$服从均匀分布$U(0, 2\pi)$，根据均匀分布的概率密度函数公式，若$X\sim U(a,b)$，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\lt{}x\lt{}b\\0,&\text{其他}\end{cases}$，可得出$X$的概率密度函数$f(x)$。
  2. 然后根据随机变量函数的数学期望公式$E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$，这里$g(X) = 2\sin X$，将$g(x)=2\sin x$和$f(x)$代入公式，计算$E(2\sin X)$。
  3. 最后对积分进行计算得出结果。

具体计算过程如下：

  • 步骤一：确定$X$的概率密度函数
    已知随机变量$X\sim U(0, 2\pi)$，根据均匀分布概率密度函数公式可得$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2\pi - 0}=\frac{1}{2\pi},&0\lt{}x\lt{}2\pi\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  • 步骤二：计算$E(2\sin X)$
    根据随机变量函数的数学期望公式$E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$，其中$g(x)=2\sin x$，则有：
    $E(2\sin X)=\int_{-\infty}^{+\infty}2\sin x\cdot f(x)dx=\int_{0}^{2\pi}2\sin x\cdot\frac{1}{2\pi}dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin xdx$
  • 步骤三：计算定积分$\int_{0}^{2\pi}\sin xdx$
    根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x + C$（$C$为常数），可得：
    $\int_{0}^{2\pi}\sin xdx=\left[-\cos x\right]_{0}^{2\pi}=-\cos(2\pi)-(-\cos(0))$
    因为$\cos(2\pi)=1$，$\cos(0)=1$，所以$-\cos(2\pi)-(-\cos(0))=-1 + 1 = 0$。
  • 步骤四：得出$E(2\sin X)$的值
    将$\int_{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$代入$E(2\sin X)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin xdx$，可得$E(2\sin X)=\frac{1}{\pi}\times0 = 0$。