题目

7.(填空题)给定向量overrightarrow(r)=(3,-4,1),在xoy平面上的投影长度是____.

7.(填空题)给定向量$\overrightarrow{r}=(3,-4,1)$,在xoy平面上的投影长度是____.

题目解答

答案

向量 $\vec{r} = (3, -4, 1)$ 在 $xoy$ 平面上的投影为 $(3, -4, 0)$。
计算投影向量的长度：
$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
或者，利用原向量模长 $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$，以及 $z$ 轴投影长度为 $1$，可得：
$\sqrt{|\vec{r}|^2 - 1^2} = \sqrt{26 - 1} = 5$
答案： $\boxed{5}$

解析

本题考查向量在平面上的投影以及向量模长的计算。解题思路是先明确向量在$xoy$平面上投影的坐标特点，再根据向量模长公式计算投影向量的长度，也可以利用原向量模长和$z$轴投影长度来计算。

  1. 求向量$\overrightarrow{r}=(3,-4,1)$在$xoy$平面上的投影向量：
    • 向量在$xoy$平面上的投影，其$z$坐标变为$0$，$x$、$y$坐标不变。所以向量$\overrightarrow{r}=(3,-4,1)$在$xoy$平面上的投影向量为$\overrightarrow{r}_{投影}=(3,-4,0)$。
  2. 计算投影向量的长度：
    • 对于向量$\overrightarrow{a}=(x,y,z)$，其模长公式为$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。
    • 那么投影向量$\overrightarrow{r}_{投影}=(3,-4,0)$的长度为$\vert\overrightarrow{r}_{投影}\vert=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}$。
    • 先计算平方项：$3^{2} = 9$，$(-4)^{2}=16$，$0^{2}=0$。
    • 再计算根号内的值：$9 + 16+0=25$。
    • 最后开方：$\sqrt{25}=5$。
  3. 另一种计算方法：
    • 先计算原向量$\overrightarrow{r}=(3,-4,1)$的模长$\vert\overrightarrow{r}\vert$，根据模长公式$\vert\overrightarrow{r}\vert=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}$。
    • 计算平方项：$3^{2} = 9$，$(-4)^{2}=16$，$1^{2}=1$。
    • 计算根号内的值：$9 + 16 + 1=26$，所以$\vert\overrightarrow{r}\vert=\sqrt{26}$。
    • 向量$\overrightarrow{r}$在$z$轴上的投影长度为$\vert1\vert = 1$。
    • 根据勾股定理，向量在$xoy$平面上的投影长度$L=\sqrt{\vert\overrightarrow{r}\vert^{2}-\vert z - 投影\vert^{2}}$，即$L=\sqrt{(\sqrt{26})^{2}-1^{2}}$。
    • 先计算平方项：$(\sqrt{26})^{2}=26$，$1^{2}=1$。
    • 再计算根号内的值：$26 - 1=25$。
    • 最后开方：$\sqrt{25}=5$。