题目
3.设lim_(xtoinfty)((x+1)^3-(x-1)^3)/(2x^2)+3x+4=b(bneq0且bneqinfty),则a=____,b=____.
3.设$\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)^{3}-(x-1)^{3}}{2x^{2}+3x+4}=b(b\neq0且b\neq\infty)$,则a=____,b=____.
题目解答
答案
展开分子得：
\[
(x+1)^3 - (x-1)^3 = 6x^2 + 2
\]
为使极限存在且非零，分子分母最高次项次数应相等。分子最高次为 $x^2$，故 $a=2$。代入得：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 2}{2x^2 + 3x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}} = \frac{6}{2} = 3
\]
因此，$a=2$，$b=3$。
\[
\boxed{2, 3}
\]
解析
考查要点：本题主要考查多项式展开、极限的计算以及无穷远处极限存在的条件。关键在于理解当分子和分母的最高次项次数相同时，极限值为它们的系数之比。
解题思路：
- 展开分子：利用立方差公式展开并化简分子，得到最高次项。
- 分析次数关系：分子和分母的最高次项次数必须相等，否则极限会是0或无穷大。
- 求极限：通过比较最高次项系数确定参数$a$，再计算极限值$b$。
展开分子
展开$(x+1)^3$和$(x-1)^3$：
$\begin{aligned}(x+1)^3 &= x^3 + 3x^2 + 3x + 1, \\(x-1)^3 &= x^3 - 3x^2 + 3x - 1.\end{aligned}$
相减后化简：
$(x+1)^3 - (x-1)^3 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 6x^2 + 2.$
确定参数$a$
分母为$ax^2 + 3x + 4$，分子最高次项为$x^2$。极限存在且非零要求分子和分母的最高次项次数相等，因此分母的最高次项次数也必须为$x^2$，即$a \neq 0$。
计算极限$b$
将分子和分母的最高次项系数代入：
$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 2}{ax^2 + 3x + 4} = \frac{6}{a}.$
根据题意，$\frac{6}{a} = b$。结合答案$b=3$，解得$a=2$。